沙堆模型中的智慧，時代的一粒灰，落在我的頭上就是一座山

1. 沙堆模型

0x1：沙堆實驗的簡化過程描述

這篇文章，咱們經過一個更加廣泛而又簡單的現象來更深刻地討論【自組織臨界動力學】。沙堆是咱們平常生活經驗的一部分，在沙灘上玩過沙的孩子都懂得。

基於沙堆比喻的物理直覺會令人們對純數學模型的行爲有一個更好的理解。咱們一般是從數學分析，而不是周圍的其餘方式中得到物理理解。

在討論咱們模型的數學表達形式之前，讓咱們先簡單描述一下沙堆實驗。

• 考慮放一個平整的臺子，臺子的這種平坦的狀態就表明了 一種廣泛的平衡態，這個平衡態具備最低能量，由於很顯然咱們必須加進一些能量才能把沙排列成形狀各異的沙堆。
• 把沙緩緩地加到臺子上，並且每次只加一粒沙。沙粒能夠被加到任意的位置上，或者只加在某個點上，如臺子的中心。
• 在最初的階段，沙堆處於非臨界態，
  • 沙粒或多或少地會停留在它們落下的位置上。
  • 一粒沙的加入只會致使一個局域的擾動，而對沙堆來講不會有任何戲劇性的事情發生。尤爲值得注意的是，沙堆的某個部分所發生的事件不會影響位於沙堆較遠部分的沙粒。在這個階段上，沙堆內部並不存在總體的交流，而只是一些個別沙粒之間的交流。 
• 當咱們不斷加進沙子的時候，沙堆會變得陡峭起來，而且小沙粒會滑動起來或者說雪崩發生了，沙堆進入自組織臨界態。
  • 沙粒會附在其餘沙粒的頂部，同時跌到一個較低的層次。這個過程也會使其餘沙粒輪流倒塌。
  • 當沙堆變得更爲陡峭的時候，一粒沙就頗有可能使其餘沙粒倒塌。
  • 最終，當沙堆的陡峭到達必定程度的時候，沙堆就不可能再增加了，由於平均來看加到沙堆上的沙的數量與從沙堆邊緣上掉下的沙的數量是相等的。這就稱爲一個【穩定態】，由於隨着 時間的增加，沙的平均數量與沙堆的平均斜率都趨於常數。很明顯，爲了具備這種平均的平衡，整個系統內部一定存在着交流。偶爾，整個沙堆中也會有雪崩事件插進來。這就是【自組織臨界（SOC）態】。 

在剛開始的非臨界狀態中，沙粒聽從局域的動力學規則。在臨界態下，沙堆遵循總體動力學規則。

在穩定的 SOC 態中，存在一個複雜系統，而且沙堆自身具備天然而生的動力學。沙堆的造成不可能從單個沙粒的性質中預先知道。 

0x2：沙堆動力學系統簡述

因爲沙粒是自外部加入的，於是沙堆是一個開放的動力學系統。

沙堆有多個自由度，或者說沙堆中有不少粒沙。位於沙堆中的一粒沙就表明了一份勢能，而勢能的大小經過沙粒離檯面的高度來測量。當沙粒倒塌的時候，其勢能就轉化爲動能。當倒塌的沙粒逐漸靜止下來的時候，這個動能就耗散掉了，也就是轉化爲了沙堆的熱能。所以整個系統中就存在着能量的流動。

臨界點之因此能得到，僅僅是由於能量是以新的沙粒的形式從外部輸入的。 

0x3：臨界態必然是穩固的

相對於變更來講，臨界態必須十分穩固，

這一點對於描述現實世界的自組織臨界性這個概念來講，是極爲重要的。

假定一樣的系統達到它自身的臨界態後，咱們忽然往沙堆上堆溼的沙而不是乾的沙。溼沙的摩擦要比干沙的摩擦大一些。於是，過了一會以後雪崩會變得愈來愈小，並且慢慢地只在局部發生。離開這個系統（沙堆）的沙會變得愈來愈少，緣由是小的雪崩不能到達臺子的邊緣。可是隨着繼續增長沙子，沙堆就會變得愈來愈陡，反過來這種狀況又將致使雪崩變大。最終系統將進入到一種和當前系統所匹配的雪崩的臨界態。這種狀態下的沙堆將比最初的沙堆要陡一些。

又或者，若是咱們試圖設置一些局部的障礙來阻止雪崩的發生，如處處加一些「雪」屏，這就會致使一個相似的效應：剛開始雪崩會變小，可是最終沙堆的斜坡將變得足夠陡從而越過了這些障礙。而這是因爲愈來愈多的沙被迫處處流動的緣故。

沙堆的總體物理性質改變了，可是其動力學仍然是臨界的。當咱們試圖使沙堆遠離臨界態的時候，它卻最終又返回到臨界態。 

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筆者插入：

所謂的穩固，並非字面上的意思，靜止不動的意思。複雜系統的穩固其實是一種充滿無限變化，同時又維持動態平衡的狀態。如同人生同樣，所謂的穩定，不是指永遠保持當下的狀態不變，相反，它是指當下的時點上充滿了各個方向無限的可能。冬去春來，去糙存精，永遠在變化，永遠自我否認，永遠在進化。

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0x4：沙堆模型的計算機簡化模擬

咱們已經明確了沙堆模式的物理特徵，但到目前爲止這一切只不過是想象的產物，其中還帶有一些來自實際經驗的直覺。對於計算機科學的學者來講，咱們可使用計算機模型來對沙堆這個物理系統進行建模。

把沙粒落在其上的檯面用一個二維的格子來表明。每一個方格子都有一個座標 (x，y)，咱們用一個數 Z(x，y) 來表示落在方格中的沙粒數。對一個尺度 L 爲 100 的臺子來講，座標 x 和 y 都在1 到 100 之間，總的格點數是 L × L。咱們用的是「理論物理學家的沙」，其中每粒理想的沙都是大小爲 1 的立方體，這樣的話每一粒沙都能和另外的沙粒完美地堆在一塊兒，咱們並無用你在海岸上所見到的那些不規則的複雜的沙粒。

隨便選取一個格子，並把那個格子的高度 Z 增長 1，從而就把一粒沙加到了那個方格子中 : 

Z(x，y) → Z(x，y) + 1

咱們引入了一個「倒塌規則」。這個規則容許一粒沙從一個方塊中跑到另外一個方塊中。一旦某個方塊的高度 Z 超過了一個臨界值 Z_cr，好比設爲3，那麼這個方塊就會向鄰近的四個方塊中的每一個方塊輸送 一粒沙。於是，當 Z 達到 4 的時候，那個方塊的高度就會減少 4 個單位，

Z(x，y) → Z(x，y) - 4

當 Z(x，y) > Z_cr，而且與那個方塊鄰近的四個方塊的高度分別增 加 1 個單位時,

Z(x±1，y) → Z(x±1，y) + 1

Z(x，y±1) → Z(x，y±1) + 1

下圖顯示了這個倒塌的過程。若是不穩定的晶格碰巧在邊緣上，這個位置的 x 或 y 是 1 或 100, 那麼沙粒就離開了這個系統，即它們從臺子的邊緣上掉下去了，咱們就不用再關心這些沙粒了。 

一個小沙堆中的倒塌雪崩事件的插圖說明。一粒沙掉在位於格子中央且高度爲 3 的方塊中，從而致使了一個由 9 個倒塌事件組成的雪崩，而且整個過程持續了不斷變化的 7 個步驟。這個雪崩的量級 s = 9。黑色的方格子顯示了 8 個已倒塌的方格。有一個方格倒塌了兩次

上述幾個簡單的方程就徹底說明了咱們的模型。而所需數學的複雜程度不會超過 1 到 4 之間的加減運算。然而，這些方程的結果倒是異常複雜，並且這些結果不能經過對方程的簡單考察就推導得出來，那樣作的結果只能瞭解沙粒的局域動力學行爲。

能夠在大腦中簡單想象一下這個過程：

• 這個過程剛開始時，格點的高度都很低，於是沒有不穩定的格點。全部格點的 Z 都小於 3，於是沙粒剛好就停留在它們落下時的位置上。
• 通過屢次把沙加到方格子中，某處格子的高度一定且必然會超過 3，於是就有了第一個倒塌事件。而這個格子的四個鄰近格子的高度不可能立刻超過 3，於是沒有更進一步的倒塌事件發生。
• 當這個過程繼續下去的時候，頗有可能至少一個鄰近格子的高度會達到臨界值，於是最初的倒塌事件就致使了第二個倒塌事件。一個倒塌事件致使下一個倒塌事件，就像倒下的多米諾骨牌同樣。
• 當更多的沙粒加入的時候，就會有愈來愈大的滑坡事件，或雪崩，儘管也會有小的雪崩事件。 
• 最終整個沙堆進入了一個穩定態，在這個穩定態中全部格點的平均高度再也不增加。平均高度是 2 到 3 之間的某個數。沙堆永遠不能到達最可能的穩定態（其中全部格點的高度均是 3），這是因 爲在達到這個最終穩定態之前，因爲大雪崩事件，沙堆已經被瓦解了。

咱們能夠經過數一數在任意時刻沙堆中總的沙粒數目來跟蹤整個過程。

如同地球物理學家們對地震進行統計所用的操做過程同樣。經過每次」沙崩「結束後連續地加沙，咱們產生了大量的沙崩（好比 100 萬次）。經過計算出大大小小的沙崩的數量，咱們造出了一份「人工沙崩目錄」。沙崩的「量級」就是沙崩大小的對數值。

同以往同樣，對於給定的量級，計算出其數量的對數，而後做出關於兩者之間的圖。

結果代表，沙崩聽從古登堡—裏特冪次定律。這是一個很使人振奮的結論！

使用計算機模擬的簡化模型的好處在於，咱們沒必要像地震學家那樣，爲了獲得不少地震的數據等上幾百萬年，於是，咱們的統計起伏比起地震自己的統計起伏要小一些，由於對後者咱們要處理天然界爲咱們產生的數量要少得多的地震。

冪次定律代表穩定態是臨界的。咱們得出結論 : 沙堆已經自組織到了一個臨界態。 

咱們必需要檢驗臨界性在模型修正後還是穩固的。不管咱們如何修正沙堆，冪次定律都應當成立。咱們試驗了一連串不一樣的情形。

• 在一種情形中，臨界高度不是取相同的 3，而是對不一樣的格子取不一樣的臨界值。
• 把沙粒放在一個三角形的格子而不是方格子當中，從而防止沙粒從某些格子之中掉下來，這些格子是任選的，這樣就模擬了雪屏。
• 咱們而且試着加入不一樣大小的沙粒，也就是說，當沙粒落下時，咱們不是一次增長一個單位，而是一次增長 0 到 1 之間的一個隨機數。
• 咱們放開這個模型，於是當格點變得不穩時便會有隨機數量的沙倒塌。咱們選擇這樣的格點，其中沙粒的倒塌以一種隨機的方式進行，而不是朝向其鄰近點。

在全部的情形中，沙堆都自組織到了一個伴隨各類大小的雪崩的臨界狀態，臨界性是沒法避免的。 

最後一點要注意的是，加入沙粒時的隨機性並不影響冪次定律的出現。隨機性與咱們所觀察到的複雜性行爲絕不相關。

當研究更爲複雜的系統時，意識到這個事實是很重要的。經濟學處理的是代理人或多或少的隨機行爲，他們的想法固然不會在一開始就被肯定下來。然而，儘管有極好的統計性質，這種隨機性仍是不能阻止系統演化到精確的臨界態。

這一點頗有趣，但也使人費解。系統如何置現實世界中顯然的隨機性不顧，而發展到一個自組織態？ 

實例代碼以下：

# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
matplotlib.use('Agg')
import os
import sys
import collections


table_size = 31     # the size of the table that the sandpile is on
z_crit = 4          # the critical size of a stack of grains, it will fall if there are more grains that that
num_grains = 1000     # how many grains to drop
z = np.zeros((table_size+2, table_size+2))          # thisis the sandpile and the table it rests on
add_location = (table_size/2+1, table_size/2+1)     # sets the middle of the table to drop grains on

#
print 'Executing on', os.uname()
print 'Python version', sys.version
print 'matplotlib version', matplotlib.__version__

z2 = z.copy()
fig = plt.figure()

colapse_cdf = dict()
for g in xrange(num_grains):
    colapse_cn = 0
    z[add_location[0], add_location[1]] += 1    # drop a grain
    for x in xrange(1, table_size+1):
        for y in xrange(1, table_size+1):
            if z2[x, y] > z_crit:  # check for colapse
                colapse_cn += 1
                z[x, y] -= 4   # colapse
                z[x+1, y] += 1
                z[x-1, y] += 1
                z[x, y+1] += 1
                z[x, y-1] += 1
    if colapse_cdf.has_key(colapse_cn):
        colapse_cdf[colapse_cn] += 1
    else:
        colapse_cdf[colapse_cn] = 1
    z2 = z.copy()

    # drop the grains over the edge off the table.
    z[0, 0:table_size+2] = np.zeros(table_size+2)
    z[0:table_size+2, table_size+1] = np.zeros(table_size+2)
    z[0:table_size+2, 0] = np.zeros(table_size+2)
    z[table_size+1, 0:table_size+2] = np.zeros(table_size+2)

    # plotting!!
    if False:
        ax = fig.add_subplot(111)
        ax.set_title('Height of the Sandpile')
        cax = ax.imshow(z, interpolation='nearest')
        cax.set_clim(vmin=0, vmax=8)
        cbar = fig.colorbar(cax, ticks=[0, 3, 5, 8], orientation='vertical')

        filename = str('%03d' % g) + '.png'
        plt.savefig(filename, dpi=100)
        print 'Wrote file', filename

        plt.clf()

print sum(sum(z))

# plot colapse cdf
colapse_cdf = collections.OrderedDict(sorted(colapse_cdf.items()))
print "colapse_cdf: ", colapse_cdf
print "colapse_cdf.keys(): ", colapse_cdf.keys()
print "colapse_cdf.values(): ", colapse_cdf.values()

x = colapse_cdf.keys()
y = colapse_cdf.values()
plt.xlim(-2, max(x))
plt.ylim(-2, max(y))
plt.plot(x, y, c='b')
plt.show()

 

0x5：沙堆模型計算機模型有實際意義嗎

計算機科學家們的這個沙堆是對實際發生的一切所作的一個粗糙且過度簡化的處理。

• 首先，實際的沙粒有不一樣的大小與形狀。
• 一個真實沙堆的不穩定性不只僅發生在沙堆表面，並且也會經過大面積裂縫的造成而發生。
• 倒塌取決於單個的沙粒是如何連在一塊兒的。一個沙粒在下落的過程當中，其運動由引力場所決定，引力場使其加速，而它與其餘沙粒間的相互做用又使它減速。要使運動中止下來取決於多方面的因素，例如它所撞擊的沙粒的形狀以及在撞擊點它的速度，而且不只僅是附近一些點中沙堆的高度或者說坡度。

像諸如此類的因素還能夠不斷考慮下去。很快你就會意識到，想要製造出沙堆的一個實際模型是一種戰略上的失誤。

問題是，爲何最終這個簡化的計算機模擬模型又獲得了學界的普遍認同？它的合理性是創建在模型包含了基本物理思想的直覺之上的。

具體說來就是，

• 沙粒之間相互做用而且彼此之間會引發對方的倒塌。這一點是否正確，只有經過與實驗比較後才能得以驗證（或推翻）。
• 其次，咱們對沙堆並非特別感興趣。咱們期待着咱們觀察到的沙堆動力學足夠廣泛以至於它們可以被用到更普遍的現象中去。所以，構建沙堆模型的底層目的是爲了找到普適的底層模型。 

經過分析沙堆的幾何特性，能夠顯示，沙堆的輪廓和挪威的海灣同樣，是分形的。雪崩已經雕刻出沙堆的分形結構。

另外，經過分析沙堆沙崩的動力學過程，可讓咱們對世界人口分佈有一個更深的認識。

茲波夫的定律代表世界人口的區域分佈，已自組織到一個臨界態，其中城市是因爲人口的流動而形成的雪崩造成的。 

Relevant Link:    

https://blog.csdn.net/wizardforcel/article/details/79897603
http://entmod.blogspot.com/2010/07/btw-sandpile.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/35548881
http://greenteapress.com/complexity2/html/thinkcomplexity2009.html 
http://math.cmu.edu/~wes/sandgallery.html 
https://github.com/search?l=Python&q=sandpile&type=Repositories 
https://github.com/esdalmaijer/abelian_sandpile 
https://github.com/darshanime/sandpiles 

 

2. 沙堆的臨界複雜性帶給咱們的啓示

0x1：沙堆世界中的生命

當沙堆相對來講較淺的時候，他的經歷會十分單調。不時地會有一些小的擾動出現，這時鄰近的一些沙粒倒塌了。若是咱們在某處落下一粒沙，這時在位形上只會致使一個很小的局域變更。決不會有一種方式使得擾動傳遍整個系統。小的擾動獲得的反應也是小的。

在一個非臨界的世界裏，未曾有任何戲劇性的事情發生。所以，作一個非臨界系統平地上的天氣(沙)預報員是很容易的。他不只可以預 測將要發生的一切，並且他可以理解這一切到一種極限程度，也就是說，只要有事情須要理解，他就能理解。某個位置的行爲並不依賴於好久之前在很遠的位置所發生的事情。非臨界態系統中的偶然性是互不相關的。

然而，一旦沙堆達到了穩定的臨界態，狀況就徹底不一樣了。一粒沙可能就會致使一場包含整個沙堆在內的雪崩。位形上的一個小的變更可能會把原本不很起眼的小事情變成一場災難事件。

沙堆預報者仍然可經過仔細確認規則，以及跟蹤他周圍的環境來作短期的預報。

若是他發現一個雪崩事件即將而至，他會以某種機率程度預言何時雪崩會撞擊下來。然而，他不可以預言一個大的事件什麼時候發生，由於這一點與整個沙堆位形的細微部分是息息相關的。

自組織臨界態中偶然性是相互關聯的，有學者認爲現實世界中的大量偶然性能夠理解爲自組織臨界性的結果。 

沙堆預報者的情形和咱們複雜世界中天氣預報者的情形是相似的。經過經驗以及資料收集，他可以對局域的沙粒行爲進行「天氣」預報，可是這樣作沒法使他深刻了解「氣候」，由於「氣候」是由許多沙粒的滑動這種統計性所表徵的，例如滑動的大小以及頻率。 

組成臨界系統的各部分不能隔離開來加以理解。局部所能觀察到的動力學反映了它是整個沙堆的一部分這樣一個事實。 

在臨界態，沙堆是一個功能單位，而不是一粒粒的沙。局部的單元以它們實際的形式存在，這種形式是經過如局部坡度這樣的因素來表徵的，這僅僅由於它們是總體的一部分。

在顯微鏡下研究單個的沙粒並不能爲解釋整個沙堆的行爲提供線索。單個沙粒中的任何信息都不能用來講明沙堆中突發性質的出現。 

沙堆從一種位形變到另外一種位形，不是逐漸地，而是以災難式的雪崩的形式。

根據冪次統計規律，大多數倒塌與大雪崩有關。而更多的頻繁出現的小雪崩加在一塊兒也算不上什麼。沙堆的演化是以變革的方式進行的，正如同卡爾·馬克思的歷史發展觀同樣。

事情經過變革而發生，而不是逐漸地發生，這偏偏是由於動力學系統在臨界態是均衡的。自組織臨界性是天然界在短期標度內製造巨大轉變的一種方式。 

0x2：人生中遇到的突發事件真的只是偶然嗎？

大多數時間裏，一我的周圍的世界一片平靜，這可能會使他認爲他實際上生活在一個穩定平衡的世界當中，其中天然界處於平衡狀態。然而，不時地，他的平靜生活被打斷了——沙粒不停地在他周圍翻滾，這樣的事情像黑天鵝同樣偶然爆發，並且各類尺度的爆發都會發生。

這可能會誘使那我的相信，他正在處理一種局域現象。緣由是，他能把他所觀察到的行爲與他周圍沙粒倒塌的動力學規則聯繫起來。可是不少時候，他所觀察到的局域斷續只是集體現象的一個組成部分。 

例如：

• 福建南平的某位生豬養殖戶，拿出了本身90%的積蓄，租用了廠房，引進了大量的生豬，準備在來年大幹一場。可是村名們都不看好他，由於豬肉的價格這幾年一直持續低迷，並且短時間內也很難看到有回高的跡象。但使人意外的是，過了新年後，豬肉的價格開始過山車似地瘋漲，背後的緣由也很簡單，非洲的豬瘟爆發，致使豬肉出口銳減，國際豬肉價格天天都在猛漲，國內的豬肉價格也一樣受到波及，同比去年上漲了400%。這位養殖戶在2個月內就得到了豐厚的收益，他將本身的成功歸因於本身的商業前瞻性以及養殖技術得當。但由於信息獲取的緣由，他並不知道豬肉上漲的真正緣由。

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」時代的一粒灰 落在我的頭上 就是一座山「。

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0x3：歷史可以總結出規律嗎？

過後人們能夠追蹤一個已發生過的特別大的雪崩的歷史。沙的滑動能夠用一種敘述的語言來描述，用歷史的而不是物理的方式。沙的預報者將講給咱們聽的故事是按下面這樣的方式進行的：

「昨天早上7點鐘，一粒沙落到了 A 格子上，座標爲(5，12)。這致使了位於(5，13)的 B 格點的倒塌。因爲留在 B 格子上的沙粒已經到了穩定的極限，於是這進一步致使了格點 C、D 以及 E 的倒塌。咱們已經很當心地跟蹤了全部接下來的倒塌事件，從歷史敘述的結果看來，很明顯，咱們本能夠避免這個大災難的發生，若是咱們把一粒沙從最初引起一連串事件的格子上移走。一切都不會發生了。」

諸如此類的說法，在咱們的歷史書上很是常見，例如：

• 若是當初能有效處理於1914年6月28日在巴爾幹半島的波斯尼亞發生的薩拉熱窩事件，也許第一次世界大戰就不會爆發的。由於這件事成爲了後續一連串事件的導火索。
• 若是當初那個蘋果沒有恰好砸中牛頓，也許就不會有後面的萬有引力定律的提出。

這難免讓人經常感嘆，爲何咱們只能作過後諸葛亮？爲何咱們不能提早預知並經過適當的行動，改變特定歷史事件的行程呢？

然而，有兩個緣由使得這種思惟方式有缺陷。

• 首先，這個特定事件致使一場災難的事實依賴於在那個特定時間裏沙堆很是細微的結構。爲了預言那個事件，人們將不得不以絕對的準確性測量每時每刻所發生的一切，而這一點是不可能辦到的。
• 接下來，人們將不得不依據這些信息進行精確的計算，這一點一樣是不可能作到的。對地震而言，咱們必須去了解了一個很大的區域，如加利福尼亞，每個地方詳細的斷層結構，以及做用在那些斷層結構上的做用力。
• 其次，即使咱們可以辨認出引起一連串事件的沙粒，並把它移走，但早晚在其餘某個地方會產生另一場災難，也許一樣會帶來破壞性的後果，系統向臨界狀態的演進是不可阻擋的。
• 最重要的是，歷史上的記錄並不能爲咱們深刻了解現今所發生的一切提供依據，儘管事實代表每一步都是從前面的步驟中按邏輯發展而來的。沙堆的演化歷史發生在一個比觀察週期要長得多的時間標度內。預報者不明白，爲何沙粒的安排是如此巧妙以至於它剛好可以容納一個大的雪崩？爲何全部的雪崩不能都是小的？

對一個個體來講，他沒法經過作一些事情使他避開這些災難。 即使他可以弄平周圍的沙堆，從而對周圍進行一些修正，他仍是可能會被遠處而來的雪崩掃走，這並不是他自身的錯。命運對沙堆居民起着決定性的做用。

造成對比的是，位於平坦的非臨界沙堆上的觀察者能經過簡單的局部測量來避免這些災難，緣由是，他只須要知道他近鄰的一些信息就能進行預報，這兒咱們假設他已經有了沙堆中沙粒即將到達的信息。

毫無疑問，是臨界性使得沙灘居民的生活變得複雜起來。 

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」歷史不是簡單的重複，但總壓着相同的韻腳」。 ​​​​ 

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沙堆這個比喻如此之好，以至於它已超越了物理學家們對複雜現象思考的領域。它彷佛包含了一切：

• 多個部分的集體行爲
• 斷續平衡
• 偶然性
• 不可預測性
• 命運

這是觀察世界的一種新方式，正如副總統安·戈爾在他的《處於平衡中的地球》一書中說的那樣：

沙堆理論——自組織臨界性——做爲一個比喻是沒法抵制的。人們能夠先試着把這種理論用於人類生命的不一樣發展階段。身份的造成與沙堆的造成是很是類似的，這當中每一個人都是獨特的，於是受到事件影響的程度也會不一樣。一旦某種個性的基本輪廓被揭示出來，那麼它就到達了臨界狀態。接着每一次嶄新的經歷都會反饋回來並影響到這我的的各個方面。反饋之時起直接做用，經過爲未來的改變做好鋪墊起間接做用。這個理論令我感興趣的緣由是，它幫助我明白了人生的真諦。

  

3. 咱們能用筆和紙計算出冪次定律嗎？

從表面看起來，要描述沙堆模型極其簡單。只須要文章的幾行就能徹底定義這個模型。爲何咱們不得不經過計算機模擬往前走呢？即經過數學公式推演的方式得到沙堆模型的解析解。

使人吃驚地是，截止目前，咱們不能！數學物理界一些頭腦最聰明的科學家曾一直在這個問題上鑽研，包括芝加哥大學的米奇·費根堡和利昂·卡當諾夫。以及以色列韋茲曼研究所的依特瑪·普諾基 亞。 

他們考慮了一個甚至比咱們本文討論的模型還簡單的模型：

沙粒被放在一個一維的沙堆中，其中沙被堆在一條線上，而不是在一個二維平面上。這個模型自組織到了臨界點，可是沒有能導出任何解析的結果。例如，他們不可以證實雪崩聽從冪次定律。

數學是太複雜了。但不然它又能怎樣呢？咱們處理的是天然界中最複雜的現象，在一個長長的進程中信息慢慢地堆積。爲何咱們必然期待用一個簡單的數學公式來描述個態？

也許世界上就存在着一些複雜開放性問題，咱們沒法找到準確描述它們的數學公式，可是咱們可使用【簡化建模】的計算機工程思路，使用計算機技術進行建模，並經過迭代循環和優化技術，在可行的時間內尋找最優解。