Openjudge — 7624 山區建小學

問題描述

政府在某山區修建了一條道路，剛好穿越總共m個村莊的每一個村莊一次，沒有迴路或交叉，任意兩個村莊只能經過這條路來往。已知任意兩個相鄰的村莊之間的距離爲di（爲正整數），其中，0 < i < m。爲了提升山區的文化素質，政府又決定從m個村中選擇n個村建小學（設 0 < n < = m < 500 ）。請根據給定的m、n以及全部相鄰村莊的距離，選擇在哪些村莊建小學，才使得全部村到最近小學的距離總和最小，計算最小值。

輸入

第1行爲m和n，其間用空格間隔
第2行爲(m-1) 個整數，依次表示從一端到另外一端的相鄰村莊的距離，整數之間以空格間隔。
例如
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3
表示在10個村莊建3所學校。第1個村莊與第2個村莊距離爲2，第2個村莊與第3個村莊距離爲4，第3個村莊與第4個村莊距離爲6，…，第9個村莊到第10個村莊的距離爲3。

輸出

各村莊到最近學校的距離之和的最小值。

樣例輸入

10 2
3 1 3 1 1 1 1 1 3

樣例輸出

18
來源
元培-From Whf

解題思路：

動態規劃來解決，這裏須要一個輔助的數組dist，dist[i][j]表示在從i到j這一段區間建一所小學，i到j的村莊都到這個學校來上學的路程和。
狀態表達：f[i][j]表示前i個村莊建j所學校，到裏那個村莊最近的學校上學的路程和。
狀態轉移：f[i][j] = std::min(f[i][j],f[k][j-1]+dist[k+1][i])，也就是：

for(int i = 1;i<=n;i++)
        for(int j = 1;j<i;j++)
            for(int k = 1;k<i;k++)
                f[i][j] = std::min(f[i][j],f[k][j-1]+dist[k+1][i]);

狀態數量：n^2
轉移代價：O（n）
時間複雜度：O（n^3）
空間複雜度：O（n^2）

還有一個關鍵點，就是有關如何求dist數組的，其實，咱們能夠發現，在i到j村莊裏建小學，選i到j村莊的路程的中間位置村莊，必定是最優的。畫個圖你就能發現了。
如何快速求dist呢，其實，dist[i][j]等於dist[i][j-1]+num[j]-num[i+j]/2的，建議畫個圖。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>

int num[1001],dist[1001][1001],f[1001][1001];
int main()
{
    int n,m;
    std::cin>>n>>m;
    for(int i = 2;i<=n;i++){std::cin>>num[i];num[i] += num[i-1];}
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        for(int j = i;j<=n;j++)
            dist[i][j] = dist[i][j-1]+num[j]-num[(i+j)/2];
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i = 1;i<=n;i++)f[i][1] = dist[1][i];
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        for(int j = 1;j<i;j++)
            for(int k = 1;k<i;k++)
                f[i][j] = std::min(f[i][j],f[k][j-1]+dist[k+1][i]);
    std::cout<<f[n][m];
    return 0;
}