淺析差分及其推廣（樹上差分與廣義差分）

差分數組及樹上差分

所謂差分，就是記錄當前的元素與以前元素邏輯上的差距。

　　最基礎的用法是差的差分數組：

　　　記錄當前位置的數與上一位置的數的差值。

　　　　　即b[i]=a[i]-a[i-1]     （b爲差分數組，a爲原數組）

　　　經過對差分數組求前綴和，能夠求出原數組，即：

　　　　　　

　　　甚至能夠求出前綴和：

　　　　

 　　　　（s爲原數組，sum爲原數組的前綴和數組，b爲差分數組）

 　　能夠O(1)優化區間加法：給原數組區間[l,r]的數都加上x，只要在b l處加x，b r+1 處減x。

　　　　　　有兩種理解角度：

　　　　　　　　一、從差分定義出發，區間加x使區間左端點與它在原數組上一個數的差距加大了x、使區間右端點的後一個數與區間右端點的數的差距縮小了x，而沒有改變區間中相鄰2數的差距。

　　　　　　　　二、從差分數組的修改對原數組的影響入手：因爲差分數組求前綴和得出原數組，當b l加x以後求前綴和，那麼原數組自l及之後的數所有比b l加x以前多了x；同理當b r+1減x以後求前綴和，那麼原數組自r+1及之後的數所有比b r+1減x以前少了x。總的一看，發現原數組l~r的部分就多了x，其他部分沒有變化。

　　

　　廣義差分：差分維護的是相鄰元素間的邏輯關係，從而使能從初始狀態（a[0]）經過差分數組表達的邏輯關係推出某個位置上a的值（從形式上看就是求前綴）。而這種差距不僅限於減法的差，還有異或等等。不過通常這種關係應可交換（即對順序的要求不嚴格）且對於運算來講有單位元（麼元）（或通常化的話就是要能有互相抵消的方法）

　　　　見：洛谷P3943 星空——題解

　　樹上差分：將差分搬到了樹上。能夠有兩個差分方向：

　　　　一、記錄當前節點與父節點的邏輯關係，查詢時從上往下求前綴。（不經常使用，由於在每次路徑修改時都要修改一下當前節點的全部子節點，時間、程序複雜度都很高，沒有靈魂的差分（不能O(1)實現路徑修改））

　　　　二、記錄當前節點與它全部子節點總和的邏輯關係，查詢時dfs求子樹和（或是說以向上爲正方向的求前綴）。（路徑修改時只要修改一下路徑起始點和lca（有時還有lca的父親），有了靈魂的差分（可O(1)實現路徑修改），很經常使用）

　　樹上差分分爲點差分和邊差分，不論哪一種差分，差分數組的意義都是當前節點與它兒子節點總和的差距（這裏爲當前點（或點上的邊）被路徑通過次數與它的兒子節點（或其上的邊）被路徑通過次數總和的差，每次新增一個路徑，即要求實現路徑修改時，起始點與兒子們的差會多一，路徑中中間的點與兒子們的差不變。點差分時，lca會比兒子們少1，lca的父親會比兒子們少1；邊差分時，lca會比兒子們少二。用這些邏輯關係從葉子向上推時，若當前點的兒子們的值都是對的，那它也是對的。邊界狀況就是葉子結點，顯然是它的值對的，故可經過回溯推出整個樹的值。這樣對差分概念的理解有深刻了：差分的結構不知限於線性的數組）

　　　　（這裏的基礎講解引用自大佬的博客）

　　　　前置知識：

　　　　　　須要知道的樹的性質:

　　　　　　　　一、樹上任意兩個點的路徑惟一.

　　　　　　　　二、任何子節點的父親節點惟一.(能夠認爲根節點是沒有父親的)

　　　　　　樹上差分的兩種基本操做用到了LCA,不瞭解LCA的話能夠去這裏面學一下

　　　　思想

　　　　　　類比於差分數組,樹上差分利用的思想也是前綴和思想.(在這裏應該是子樹和思想.

　　　　　　當咱們記錄樹上節點被通過的次數,記錄某條邊被通過的次數的時候.

　　　　　　若是每次強制dfs去標記的話,時間複雜度將高到爆炸!

　　　　　　所以咱們引入了樹上差分!

　　　　　　與樹上差分在一塊兒的使用的是 DFS ，由於在回溯的時候,咱們能夠計算出子樹的大小.

　　　　　　(這個應該不用過多解釋

　　　　定義數組

　　　　　　cnti​ 爲節點i被通過的次數.

　　　　基本操做

　　　　　　1.點的差分

　　　　　　這個比較簡單,因此先講這個qwq

　　　　　　例如,咱們從s−−>t ,求這條路徑上的點被通過的次數.

　　　　　　很明顯的,咱們須要找到他們的LCA,(由於這個點是中轉點啊qwq.

　　　　　　咱們須要讓cnt s​++ ,讓 cnt t​++，而讓他們的cnt lca​−−，cnt faher(lca)​−− ;

　　　　　　可能讀着會有些難理解,因此我準備了一個圖qwq。綠色的數字表明通過次數.

　　　　　　

　　　　　　直接去標記的話,可能會T到不行,可是咱們如今在講啥?樹上差分啊!

　　　　　　根據剛剛所講,咱們的標記應該是這樣的↓

　　　　

　　　　　　考慮：咱們搜索到s,向上回溯.

　　　　　　下面以 u 表示當前節點, soni​ 表明i的兒子節點.(若是一些 son 不給出下標,即表明當前節點 u 的兒子

　　　　　　每一個 u 統計它的子樹大小,順着路徑標起來.(即cnt u​+=cnt son​ )

　　　　　　咱們會發現第一次從s回溯到它們的LCA時候,cnt LCA​+=cnt[son_LCA​]

　　　　　　cnt_LCA​=0 ! "不是LCA會被通過一次嘛,爲何是0!"

　　　　　　別急,咱們繼續搜另外一邊.

　　　　　　繼續：咱們搜索到t,向上回溯.

　　　　　　依舊統計每一個u的子樹大小 cnt u​+=cnt son​

　　　　　　再度回到 LCA 依舊 是 cnt_LCA​+=cnt[son_LCA​]

　　　　　　這個時候cnt_LCA​=1 這就達到了咱們要的效果 (是否是特別優秀 ( • ̀ω•́ )✧

　　　　　　擔心： 萬一咱們再從 LCA 向上回溯的時候使得其父親節點的子樹和爲1怎麼辦?

　　　　　　這樣咱們不就使得其父親節點被通過了一次? 所以咱們須要在cnt faher(lca)​−−

　　　　　　這樣就達到了標記咱們路徑上的點的要求! 厲不厲害 (oﾟ▽ﾟ)o tql!!

　　　　　　2.邊的差分

　　　　　　既然咱們已經get到了點的差分,那麼咱們邊的差分也是很簡單啦!

　　　　　　機房某dalao:"這不和點差分標記方式同樣嗎?不就是把邊塞給點嗎? 看我切了它!"

　　　　　　爲這位大佬默哀一下 qwq.

　　　　　　的確,咱們對邊進行差分須要把邊塞給點,可是,這裏的標記並非同點差分同樣.

　　　　　　PS: 把邊塞給點的話,是塞給這條邊所連的深度較深的節點. (即塞給兒子節點

　　　　　　先請你們思考 5s ……

　　　　　　好,時間到,有沒有想到如何標記?(只要畫圖模擬一下就能夠啦! 上圖! 紅色邊爲須要通過的邊,綠色的數字表明通過次數

　　　　　　正常的話,咱們的圖是這樣的.↓

　　　　

　　　　　　可是因爲咱們把邊塞給了點,所以咱們的圖應該是這樣的↓

　　　　

　　　　　　可是根據咱們點差分的標記方式來看的話顯然是行不通的,

　　　　　　不然atherLCA​−−>LCA 這一路徑也會被標記爲通過了1次

　　　　　　所以考慮如何標記咱們的點,來達到通過紅色邊的狀況

　　　　　　聰明的你必定想到了,這樣來標記

　　　　　　cnts​++ ，cntt​++ ，cnt_LCA​−=2

　　　　　　這樣回溯的話,咱們便可只通過圖中紅色邊啦!(這裏就不詳細解釋啦,原理其實相同 qwq

　　　　　　把邊塞入點中的代碼這樣寫.qwq(順便在搜索的時候處理便可

 1 前置知識  2 須要知道的樹的性質:  3 
 4 樹上任意兩個點的路徑惟一.  5 
 6 任何子節點的父親節點惟一.(能夠認爲根節點是沒有父親的)  7 
 8 若是你認爲你知道了這些你就能秒切這些樹上差分的題,那你就過低估這個東西了!
 9 
 10 樹上差分的兩種基本操做用到了LCA,不瞭解LCA的話能夠去這裏面學一下  11 
 12 思想  13 類比於差分數組,樹上差分利用的思想也是前綴和思想.(在這裏應該是子樹和思想.  14 
 15 當咱們記錄樹上節點被通過的次數,記錄某條邊被通過的次數的時候.  16 
 17 若是每次強制dfs去標記的話,時間複雜度將高到爆炸!
 18 
 19 所以咱們引入了樹上差分!
 20 
 21 與樹上差分在一塊兒的使用的是 DFSDFS ，由於在回溯的時候,咱們能夠計算出子樹的大小.  22 
 23 (這個應該不用過多解釋  24 
 25 定義數組  26 cnt_icnt  27 i  28 ​ 爲節點i被通過的次數.  29 
 30 基本操做  31 1.點的差分  32 這個比較簡單,因此先講這個qwq  33 
 34 例如,咱們從 s-->ts−−>t ,求這條路徑上的點被通過的次數.  35 
 36 很明顯的,咱們須要找到他們的LCA,(由於這個點是中轉點啊qwq.  37 
 38 咱們須要讓 cnt_s++cnt  39 s  40 ​     ++ ,讓 cnt_t++cnt  41 t  42 ​     ++ ，而讓他們的 cnt_{lca}--cnt  43 lca  44 ​     −− ， cnt_{faher(lca)}--cnt  45 faher(lca)  46 ​ −− ;  47 
 48 可能讀着會有些難理解,因此我準備了一個圖qwq  49 
 50 綠色的數字表明通過次數.  51 
 52 
 53 
 54 直接去標記的話,可能會T到不行,可是咱們如今在講啥?樹上差分啊!
 55 
 56 根據剛剛所講,咱們的標記應該是這樣的↓  57 
 58 
 59 
 60 考慮：咱們搜索到s,向上回溯.  61 
 62 下面以 uu 表示當前節點, son_ison  63 i  64 ​ 表明i的兒子節點.(若是一些 sonson 不給出下標,即表明當前節點 uu 的兒子  65 
 66 每一個 uu 統計它的子樹大小,順着路徑標起來.(即 cnt_u+=cnt_{son}cnt  67 u  68 ​     +=cnt  69 son  70 ​ )  71 
 72 咱們會發現第一次從s回溯到它們的LCA時候, cnt_{LCA}+=cnt[son_{LCA}]cnt  73 LCA  74 ​     +=cnt[son  75 LCA  76 ​ ]  77 
 78 cnt_{LCA}=0cnt  79 LCA  80 ​     =0 ! "不是LCA會被通過一次嘛,爲何是0!"
 81 
 82 別急,咱們繼續搜另外一邊.  83 
 84 繼續：咱們搜索到t,向上回溯.  85 
 86 依舊統計每一個u的子樹大小 cnt_u+=cnt_{son}cnt  87 u  88 ​     +=cnt  89 son  90 ​  91 
 92 再度回到 LCALCA 依舊 是 cnt_{LCA}+=cnt[son_{LCA}]cnt  93 LCA  94 ​     +=cnt[son  95 LCA  96 ​ ]  97 
 98 這個時候 cnt_{LCA}=1cnt  99 LCA 100 ​     =1 這就達到了咱們要的效果 (是否是特別優秀 ( • ̀ω•́ )✧ 101 
102 擔心： 萬一咱們再從 LCALCA 向上回溯的時候使得其父親節點的子樹和爲1怎麼辦?
103 
104 這樣咱們不就使得其父親節點被通過了一次? 所以咱們須要在 cnt_{faher(lca)}--cnt 105 faher(lca) 106 ​ −− 107 
108 這樣就達到了標記咱們路徑上的點的要求! 厲不厲害 (oﾟ▽ﾟ)o tql!!
109 
110 這樣點的差分應該沒什麼問題了吧 ,有問題能夠問個人哦 qwq (若是我會的話.) 111 
112 2.邊的差分 113 既然咱們已經get到了點的差分,那麼咱們邊的差分也是很簡單啦!
114 
115 機房某dalao:"這不和點差分標記方式同樣嗎?不就是把邊塞給點嗎? 看我切了它!"
116 
117 爲這位大佬默哀一下 qwq. 118 
119 的確,咱們對邊進行差分須要把邊塞給點,可是,這裏的標記並非同點差分同樣. 120 
121 PS: 把邊塞給點的話,是塞給這條邊所連的深度較深的節點. (即塞給兒子節點 122 
123 先請你們思考 5s5s 124 
125 \vdots⋮ 126 
127 \vdots⋮ 128 
129 \vdots⋮ 130 
131 好,時間到,有沒有想到如何標記?(只要畫圖模擬一下就能夠啦! 上圖!
132 
133 紅色邊爲須要通過的邊,綠色的數字表明通過次數 134 
135 正常的話,咱們的圖是這樣的.↓ 136 
137 
138 
139 可是因爲咱們把邊塞給了點,所以咱們的圖應該是這樣的↓ 140 
141 
142 
143 可是根據咱們點差分的標記方式來看的話顯然是行不通的, 144 
145 這樣的話咱們會通過 father_{LCA}--> LCAfather 146 LCA 147 ​     −−>LCA 這一路徑. 148 
149 所以考慮如何標記咱們的點,來達到通過紅色邊的狀況 150 
151 聰明的你必定想到了,這樣來標記 152 
153 cnt_s++cnt 154 s 155 ​     ++ ， cnt_t ++cnt 156 t 157 ​     ++ ， cnt_{LCA}-=2cnt 158 LCA 159 ​     −=2
160 
161 這樣回溯的話,咱們便可只通過圖中紅色邊啦!(這裏就不詳細解釋啦,原理其實相同 qwq 162 
163 把邊塞入點中的代碼這樣寫.qwq(順便在搜索的時候處理便可 164 
165 void dfs(int u,int fa,int dis) 166 { 167     //u爲當前節點,fa爲當前節點的父親節點,dis爲從fa通向u的邊的邊權.
168     depth[u]=depth[fa]+1; 169     f[u][0]=fa;//相信寫過倍增LCA的人都能看懂.
170     init[u]=dis;//這裏是將邊權賦給點.
171     for(int i=1;(1<<i)<=depth[u];i++)f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];//預處理倍增數組.
172     for(int i=head[u];i;i=edge[i].u) 173  { 174         if(edge[i].v==fa)continue; 175  dfs(edge[i].v,u,edge[i].w); 176  } 177     //這個每一個人的寫法不同吧. 178     //因此根據每一個人的代碼風格不同,碼出來的也不同
179 }

代碼實現

　　最後總結一下：

　　　　差分維護元素與它前面緊鄰的一個或多個元素的邏輯關係，並且通常均可從邊界由差分維護的邏輯關係推出每個元素。（結構不僅侷限於線性，邏輯關係不僅侷限於減法的差關係、異或等）

　　　　（應用）差分常常用於優化修改相鄰元素的操做，並且每每優化的效果很贊（直接到O（1）），但要O（n）處理出差分的前綴和後才能查詢。適用於優化一批大量的全是修改連續元素的修改操做。離線算法。常搭配前綴和，對於先修改再詢問的題來講，差分O(1)處理修改，O(n)處理出前綴和，再用前綴和O(1)處理詢問。

　　　　樹上差分基本都會有LCA，且樹上差分經常用於求通過某點或邊路徑的條數。