（暫時棄坑）（半成品）ACM數論之旅18---反演定理 第二回 Mobius反演（莫比烏斯反演）（(づ￣3￣)づ天才第一步，雀。。。。）

 

莫比烏斯反演也是反演定理的一種

 

 

 

既然咱們已經學了二項式反演定理

 

那莫比烏斯反演定理與二項式反演定理同樣，不求甚解，只求會用

 

莫比烏斯反演長下面這個樣子(=・ω・=)

 

d|n，表示n可以整除d，也就是d是n的全部因子

 

μ(x)是莫比烏斯函數，它是這樣計算的

μ(1) = 1 

x = p1 * p2 * p3 ……*pk（x由k個不一樣的質數組成）則μ(x) = (-1)^k 

其餘狀況，μ (x) = 0 

 

好比

30 = 2 * 3 * 5

μ(30) = (-1)^3 

4 = 2 * 2

μ(4) = 0

 

 

 

 

 

 

對於μ(d)函數，它有以下的常見性質：

 

    （1）對任意正整數n有

    （2）對任意正整數n有 

 

 

 

 

 

 

求μ的函數的方法不少

這裏提供一種線篩的預處理（複雜度O(n)喲~~~）

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 1e6 + 5;
 3 int mu[N], vis[N], prime[N];
 4 int tot;//用來記錄prime的個數
 5 void init(){
 6     mu[1] = 1;
 7     for(int i = 2; i < N; i ++){
 8         if(!vis[i]){
 9             prime[tot ++] = i;
10             mu[i] = -1;
11         }
12         for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < N; j ++){
13             vis[i * prime[j]] = 1;
14             if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];
15             else{
16                 mu[i * prime[j]] = 0;
17                 break;
18             }
19         }
20     }
21 }
22 int main(){
23     init();
24 }

 

 上次，有人問我μ爲啥不是miu是mu

這。。。固然均可以啦，μ的英文就是mu，miu是讀音看你習慣

 

∑(っ °Д °;)っ爲了證實我是對的，我特地百度了希臘字母讀音及科學方面應用

大寫	小寫	英文讀音	國際音標	意義
Α	α	alpha	/ˈælfə/	角度，係數，角加速度
Β	β	beta	/'beitə/	磁通係數，角度，係數
Γ	γ	gamma	/'gæmə/	電導係數，角度，比熱容比
Δ	δ	delta	/'deltə/	變化量，屈光度，一元二次方程中的判別式
Ε	ε	epsilon	/ep'silon/	對數之基數，介電常數
Ζ	ζ	zeta	/'zi:tə/	係數，方位角，阻抗，相對粘度
Η	η	eta	/'i:tə/	遲滯係數，效率
Θ	θ	theta	/'θi:tə/	溫度，角度
Ι	ι ℩	iota	/ai'oute/	微小，一點
Κ	κ	kappa	/kæpə/	介質常數，絕熱指數
∧	λ	lambda	/'læmdə/	波長，體積，導熱係數
Μ	μ	mu	/mju:/	磁導係數，微，動摩擦系（因）數，流體動力粘度
Ν	ν	nu	/nju:/	磁阻係數，流體運動粘度,光子頻率
Ξ	ξ	xi	/ksi/	隨機數，（小）區間內的一個未知特定值
Ο	ο	omicron	/oumaik'rən/	高階無窮小函數
∏	π	pi	/pai/	圓周率，π(n)表示不大於n的質數個數
Ρ	ρ	rho	/rou/	電阻係數，柱座標和極座標中的極徑，密度
∑	σ ς	sigma	/'sigmə/	總和，表面密度，跨導，正應力
Τ	τ	tau	/tau/	時間常數，切應力
Υ	υ	upsilon	/ju:p'silən/	位移
Φ	φ	phi	/fai/	磁通，角，透鏡焦度，熱流量
Χ	χ	chi	/kai/	統計學中有卡方(χ^2)分佈
Ψ	ψ	psi	/psai/	角速，介質電通量
Ω	ω	omega	/'oumigə/	歐姆，角速度，交流電的電角度

 

 

 

 

 

 

 

 

 

其實莫比烏斯有兩種描述

莫比烏斯第一種描述，通常是這種

莫比烏斯第二種描述，這種也能夠並且有些題這種更好

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

來作題吧

hdu 1695

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695

 

（這題就是容斥那一章的，我就把下面的題意照搬過來了，還記得題目的就跳過題目吧） 

題意:給你5個數a，b，c，d，k

在a~b中選一個x, c~d中選一個y，知足gcd(x,y) = k , 求(x,y) 的對數 

a, b, c, d, k, 0 < a <= b <= 100,000, 0 < c <= d <= 100,000, 0 <= k <= 100,000

在題目描述的最後一行有一句話，多組裏面全部的a和c都是1（這題目不是坑爹嗎(╯‵□′)╯︵┻━┻那輸入a和c有什麼用）

而後題目變成

在1~b中選一個x, 1~d中選一個y，知足gcd(x,y) = k , 求(x,y) 的對數 。。。（無語中。。。）

 

 

 

 

 

 

 

 

前面思路同樣

先把問題就轉化爲求1~a區間 和 1~b區間，gcd(x,y) = 1對數的問題

 

設f(d)爲知足gcd(x,y)=d的x,y的對數

咱們根據莫比烏斯第二描述來作

那F(1) = f(1) + f(2) + f(3) + ....

F(2) = f(2) + f(4) + f(6) +.....

咱們能夠看出F(d)就是知足gcd(x,y)爲d的倍數的x,y的對數

那F(d)的公式就容易求了

F(d) = (a/d) * (b/d)

（在1~a中，有a/d個數是d的倍數，在1~b中，有b/d個數是d的倍數，這些數無論怎麼選擇，構成的gcd(x,y)都是d的倍數）

由於

 F(1) = f(1) + f(2) + f(3) + ....

因此

f(1) = μ(1)*F(1) + μ(2)*F(2) + μ(3)*F(3) + ...

 

AC代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 const int N = 1e6 + 5;
 6 int mu[N], vis[N], prime[N];
 7 int tot;//用來記錄prime的個數
 8 void init(){
 9     mu[1] = 1;
10     for(int i = 2; i < N; i ++){
11         if(!vis[i]){
12             prime[tot ++] = i;
13             mu[i] = -1;
14         }
15         for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < N; j ++){
16             vis[i * prime[j]] = 1;
17             if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];
18             else{
19                 mu[i * prime[j]] = 0;
20                 break;
21             }
22         }
23     }
24 }
25 LL Mobius(int a, int b){
26     LL ret = 0;
27     for(int i = 1; i <= a; i ++){//由於公式中有a/i，因此for到a就能夠了 
28         ret += 1ll * mu[i] * (a / i) * (b / i);
29     }
30     //咱們如今求完了總對數，可是題目要求的相似(5,7)和(7,5)算一種
31     //因此接下來咱們開始去重
32     LL temp = 0;
33     for(int i = 1; i <= a; i ++){
34         temp += 1ll * mu[i] * (a / i) * (a / i);
35     } 
36     return ret - temp / 2;
37     //好比a=5,b=7那麼(4,6)這樣子的區間不可能有重複的(6,4)
38     //因此重複的部分只在1~a中，因此最後減去一半的重複區間就行了 
39 }
40 int main(){
41     init();
42     int T, a, b, c, d, k;
43     scanf("%d", &T);
44     for(int cas = 1; cas <= T; cas ++){
45         scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k);
46         if(k == 0){
47             printf("Case %d: 0\n", cas);
48             continue;
49         }
50         b /= k; d /= k;
51         if(b > d) swap(b, d);
52         printf("Case %d: %I64d\n", cas, Mobius(b, d));
53     }
54 }

View Code

 

 

 

 

 

 

/////////////////此處施工中//////////////////

暫時棄坑。。。。

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=94200#overview

峯神掛的莫比烏斯反演章節，有興趣本身去作作，不會的去百度。。。。