莫比烏斯反演證實

前言？

終於放假了~~感受再不趁機頹會兒我博客就廢了……

趕忙寫點東西刷刷存在感（騙點積分）

莫比烏斯函數

 定義一種函數$\mu(d)$，知足：

1.若$d=1$，則$\mu(d)=1$。

2.若$d=p_1p_2p_3\cdots p_k$且$p_i$爲互異素數時，$\mu(d)=(-1)^k$。

3.其餘狀況$\mu(d)=0$。

那麼咱們將函數$\mu(d)$稱做莫比烏斯函數。

看上去很NB？

通俗一點，就是對於1來講$\mu(1)=1$，其餘數的話若數d包含相同質因子則$\mu(d)=0$，若質因子各不相同，那麼若x有奇數個質因子$\mu(d)=-1$，不然$\mu(d)=1$。

 莫比烏斯函數有許多神奇的性質（就知道兩個）：

性質一：$\sum\limits_{d|n}\mu(d) = [n==1]$

證實：

[n==1]意思就是當且僅當n=1時返回1，不然返回0。

$n=1$時顯然成立。

$n \neq 1$時，首先對於$\mu(d)=0$的狀況咱們能夠直接忽略，只需考慮$\mu(d)\neq 0$，即$d=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_k^{c_k}$且對於$\forall i\in [1,k]\ c_i=1$的狀況。

 設$n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_i^{c_i}$，則d的質因子個數是j的狀況一共有$C_i^j$種。

那麼根據莫比烏斯函數的定義咱們能夠獲得\begin{array}{lcl}\sum\limits_{d|n}\mu(d) & = & C_i^0-C_i^1+C_i^2-\cdots +(-1)^iC_i^i \\& = & \sum\limits_{j=0}^i(-1)^jC_i^j \end{array}

就是說咱們只須要證實$\sum\limits_{j=0}^i(-1)^jC_i^j = 0$就能夠了。

這個東西就是個裸的二項式定理，不會二項式定理的話能夠參考個人另外一篇博客（又開始騙閱讀了）。

因而咱們就愉快的證實出了性質一。

性質二：$\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$

其中$\phi(n)$爲歐拉函數（來看莫比烏斯反演的應該不會不知道吧……）。

這個性質會在下面講狄利克雷卷積時證實。

求法：

求單個數的莫比烏斯函數直接分解質因數便可。

若求1～n項的莫比烏斯函數值，咱們能夠用Eratosthenes篩法計算。

#include<cstdio>
using namespace std;
int const N=1e5+5;
int miu[N];
bool v[N];
inline void get_miu(int n){
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        miu[i]=1;
    for(register int i=2;i<=n;++i){
        if(v[i])continue;
        miu[i]=-1;
        for(register int j=i<<1;j<=n;j+=i){
            v[j]=1;
            if((j/i)%i)miu[j]=-miu[j];
            else miu[j]=0;
        }
    }
    return ;
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    get_miu(n);
    return 0;
}

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也能夠線性篩，只要在線性篩素數的基礎上略作修改便可。

#include<cstdio>
using namespace std;
int const N=1e5+5;
int miu[N],prime[N],tot;
bool v[N];
inline void get_miu(int n){
    miu[1]=1;
    for(register int i=2;i<=n;++i){
        if(!v[i])prime[++tot]=i,miu[i]=-1;
        int zz=-miu[i];
        for(register int j=1;j<=tot;++j){
            int now=prime[j]*i;
            if(now>n)break;
            v[now]=1;
            if(i%prime[j])miu[now]=zz;
            else break;
        }
    }
    return ;
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    get_miu(n);
    return 0;
}

View Code

 狄利克雷卷積

在學習狄利克雷卷積以前咱們先了解一個東西叫作數論函數。

咱們沒必要熟悉整個數論函數的體系，咱們只須要了解一些常見數論函數便可。

而若是一個數論函數f對於任意兩個互質的正整數a,b知足$f(a\times b)=f(a)\times f(b)$，咱們把函數f稱做積性函數。

注意積性函數與積性函數的乘積仍爲積性函數。

咱們見到的大部分數論函數都是積性函數，下面舉一些例子：

1.$\phi(n)/\varphi(n)$ 歐拉函數 表示1～n中與n互質的數的個數。$\phi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[gcd(n,i)==1]$

2.$\mu(n)$ 莫比烏斯函數 上面應該已經說的很清楚了，再也不贅述。

3.$d(n)$ 約數個數 表示n的正因子個數 $d(n)=\sum\limits_{d|n}1$

4.$\sigma(n)$ 約數和函數 表示n的全部正因子之和 $\sigma(n)=\sum\limits_{d|n}d$

5.$\epsilon(n)/e(n)$ 元函數 對於狄利克雷卷積的乘法單位 $\epsilon(n)=[n==1]$

6.$1(n)$ 恆等函數 恆爲1 $1(n)=1$

7.$Id(n)$ 單位函數 就是自己的大小 $Id(n)=n$

若函數f對於任意一個正整數對(a,b)都知足$f(a\times b)=f(a)\times f(b)$，那麼咱們把函數f稱做徹底積性函數。

上面積性函數例子的5，6，7都是徹底積性函數。

全部狄利克雷特徵（一種數論函數，想了解的問度娘去）都是徹底積性函數。

下面，咱們正式開始講解狄利克雷卷積。

 定義一種運算$*$，對於函數f，g知足$(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$，咱們把這種運算$*$稱做狄利克雷卷積。

狄利克雷卷積知足交換律，結合律以及分配律。

上面解釋元函數$\epsilon(n)$時說到元函數是對於狄利克雷卷積的乘法單位，元函數能夠在狄利克雷卷積中充當單位元，即$f*\epsilon=f$。

對於一個函數f，若是$f(1)\neq 0$，則都存在函數g知足$f*g=\epsilon$，咱們把g稱做f的逆元。

從某巨神的博客偷的逆元式子：

$g(n)=\frac{1}{f(1)}\left([n==1]-\sum\limits_{d|n,d\neq 1}f(d)g(\frac{n}{d})\right)$

$\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{1})=f(1)g(n)+\sum\limits_{d|n,d\neq 1}f(d)g(\frac{n}{d})=[n==1]$

下面列舉幾種卷積關係：

1.$d=1*1$

2.$\sigma=d*1$

3.$Id=\phi*1$

4.$\epsilon=\mu*1$

5.$\phi=\mu*Id$

6.$1=\mu*d$

證實：

1，2顯然（直接把函數表達式代入就好了）。

3：

\begin{array}{lcl}Id(n) & = & \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n[gcd(i,n)==j] \\& = & \sum\limits_{j|n}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}[gcd(i,\frac{n}{j})==1] \\& = & \sum\limits_{j|n}\phi(\frac{n}{j}) \end{array}

即 $Id=\phi*1$

其實就是歐拉函數的一個性質：$\sum\limits_{d|n}\phi(d)=n$

4就是莫比烏斯函數的性質一，上面已經證實過，再也不贅述。

5：

我好像說莫比烏斯函數的性質二要在講狄利克雷卷積時證實？

這個5其實就是$\mu(n)$的性質二。

\begin{array}{cc}Id & = & \phi*1 \\Id*\mu & = & \phi*1*\mu \\Id*\mu & = & \phi*\epsilon \\Id*\mu & = & \phi \\ \sum\limits_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}  & = & \phi(n) \\ \sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d} & = & \frac{\phi(n)}{n} \end{array}

證畢。

6.

\begin{array}{cc}d & = & 1*1\\d*\epsilon & = & 1*1\\ d*\mu*1 & = & 1*1\\ d*\mu & = & 1 \end{array}

證畢。

莫比烏斯反演

$f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d) \Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$

另外一種形式：$f(n)=\sum\limits_{n|d}g(d) \Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)$

咱們先證實第一種形式。

已知$f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)$

則\begin{array}{lcl}\sum\limits_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) & = & \sum\limits_{d|n}\mu(d)\sum\limits_{i|\frac{n}{d}}g(i) \\& = & \sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i|\frac{n}{d}}\mu(d)g(i) \\& = & \sum\limits_{i|n}\sum\limits_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)g(i) \\& = & \sum\limits_{i|n}g(i)\sum\limits_{d|\frac{n}{i}}\mu(d) \\& = & g(n)\end{array}

得證。

然而事實上能夠用狄利克雷卷積證實。

 $f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)$能夠表示爲$f=g*1$

則\begin{array}{lcl}f*\mu & = & g*1*\mu \\& = & g*(1*\mu) \\& = & g*\epsilon \\& = & g \end{array}

帶入就能夠獲得莫比烏斯反演的兩種形式了……