【數據結構與算法】 通俗易懂講解 AVL樹

AVL樹是一種特殊的二叉搜索樹，所以若是你對二叉搜索樹不熟悉，建議看完下面幾篇二叉搜索樹的文章再來學習AVL樹，這樣更容易理解。

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二叉搜索樹的侷限

咱們已經知道，通常狀況二叉搜索樹的查找效率爲log(n)，已經足夠好了。可是這裏爲何強調是通常狀況呢？是由於，對於一樣的節點，插入的順序不一樣，最後獲得的二叉搜索樹的結構也不同，對於（2，3，4，5，6，7，8）序列，能夠構成下面這樣的一顆二叉搜索樹：

仍是（2，3，4，5，6，7，8）序列，它也能構成下面這樣的二叉搜索樹，準確的說它應該是一個單鏈表了，對於單鏈表，咱們很清楚，它的查找操做時間複雜度爲n。

n和log(n)的時間複雜度意味什麼？從下面的圖能夠看到，隨着元素的增長，log(n)的時間複雜度的增加要遠小於n。所以咱們天然但願二叉搜索樹能儘量保持log(n)的深度。所以，本文的主人公AVL樹橫空出世了。

什麼是AVL樹

AVL樹，是一種平衡(balanced)的二叉搜索樹。由兩位科學家在1962年發表的論文《An algorithm for the organization of information》當中提出，做者是發明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。

相比於"二叉查找樹"，AVL樹的特色是：AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差異爲1。 關於樹的高度等基本概念，請參考前面文章通俗易懂講解 二叉搜索樹（請戳我）

上面圖中，左邊的是AVL樹，它的任何節點的兩個子樹的高度差異都<=1；而右邊的不是AVL樹，由於7的兩顆子樹的高度相差爲2(以2爲根節點的樹的高度是3，而以8爲根節點的樹的高度是1)。

關於AVL樹的操做，大部分都能複用平衡二叉樹樹的操做，可是對於插入和刪除操做來講，極可能因爲節點的插入和刪除致使AVL樹的平衡狀態就被破壞，因此咱們須要一種機制來檢測這棵樹是否平衡，以及當它不平衡的時候，咱們應該經過某些操做使它從新平衡(rebalanced)。

旋轉

前面講到若是在AVL樹中進行插入一個新的節點或刪除某個節點後，可能致使AVL樹失去平衡。這種失去平衡的能夠歸納爲4種姿態：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面給出它們的示意圖：

上圖中的4棵樹都是"失去平衡的AVL樹"，從左往右的狀況依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的狀況以外，還有其它的失去平衡的AVL樹，以下圖：

上面的兩張圖都是爲了便於理解，而列舉的關於"失去平衡的AVL樹"的例子。總的來講，AVL樹失去平衡時的狀況必定是LL、LR、RL、RR這4種之一，它們都由各自的定義：

LL：稱爲"左左"。插入或刪除一個節點後，根節點的左子樹的左子樹還有非空子節點，致使"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，致使AVL樹失去了平衡。

示例：上面LL狀況中，因爲"根節點(8)的左子樹(4)的左子樹(2)還有非空子節點"，而"根節點(8)的右子樹(12)沒有子節點"；致使"根節點(8)的左子樹(4)高度"比"根節點(8)的右子樹(12)"高2。

LR：稱爲"左右"。插入或刪除一個節點後，根節點的左子樹的右子樹還有非空子節點，致使"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，致使AVL樹失去了平衡。

示例：上面LR狀況中，因爲"根節點(8)的左子樹(4)的左子樹(6)還有非空子節點"，而"根節點(8)的右子樹(12)沒有子節點"；致使"根節點(8)的左子樹(4)高度"比"根節點(8)的右子樹(12)"高2。

RL：稱爲"右左"。插入或刪除一個節點後，根節點的右子樹的左子樹還有非空子節點，致使"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，致使AVL樹失去了平衡。

示例：上面RL狀況中，因爲"根節點(8)的右子樹(12)的左子樹(10)還有非空子節點"，而"根節點(8)的左子樹(4)沒有子節點"；致使"根節點(8)的右子樹(12)高度"比"根節點(8)的左子樹(4)"高2。

RR：稱爲"右右"。插入或刪除一個節點後，根節點的右子樹的右子樹還有非空子節點，致使"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，致使AVL樹失去了平衡。

示例：上面RR狀況中，因爲"根節點(8)的右子樹(12)的右子樹(14)還有非空子節點"，而"根節點(8)的左子樹(4)沒有子節點"；致使"根節點(8)的右子樹(12)高度"比"根節點(8)的左子樹(4)"高2。

前面講過在AVL樹不平衡的時候，咱們應該經過某些操做使它從新平衡，後面將會單獨用一篇文章總結"LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)"這4種狀況對應的旋轉方法。

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