經典的擲骰子問題, 不想試一下嘛？

話很少說！看題吧

同時擲兩顆骰子，問兩個骰子點數之和爲5的結果在點數之和爲7的結果以前出現的機率是多少？

這道題用到了值得學習的技巧(巧妙的設事件)！

記:

(請必定耐心看完!)

$$ \begin{aligned} & 事件{\color{Green} A} \ 爲 兩個骰子點數之和爲5的結果在點數之和爲7的結果以前出現的事件\\ & 事件{\color{Blue} E_{n}} \ 爲 前(n-1)次和爲5, 和爲7都不發生, 而第n次出現和爲5點的事件 \\&易知:{\color{Green} A} = \bigcup_{n=1}^{\infty }{\color{Blue} E_{n}} \end{aligned} $$

易知:

$$ 機率 {\color{Red} P_{1}(每次擲骰子和爲5)} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\\ 機率 {\color{Red} P_{2}(每次擲骰子和爲7)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$

則:

$$ \begin{aligned} {\color{Blue} E_{n}} &= (1-\color{Red}P_{1}-\color{Red}P_{2})^{n-1}\ * \ \color{Red}P_{1} \\ &= (1-\frac{4}{36}-\frac{6}{36})^{n-1}\ *\ \frac{4}{36} \\ &= \frac{1}{9} \ * \ (\frac{13}{18})^{n-1} \\ \\ {\color{Green} A} &= \sum_{n=1}^{\infty }{\color{Blue} E_{n}} \\&= \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{9} \ * \ (\frac{13}{18})^{n-1} \\&= \frac{2}{5} \end{aligned} $$

因此:

$$ 機率是\frac{2}{5} $$

是否是很巧妙呢？？

順便給出某度的答案:
https://www.zybang.com/questi...