[NOI2016]曠野大計算

Subtask0

造計算機神題。給一個忠告：珍愛生命，遠離曠野大計算......
代碼在這裏：戳我

Subtask1

給定\(a,b\)；求\(-2a-2b\)。

熟悉操做環境：\([-(a+b)]<<1\)，共\(6\)次操做。

Subtask2

給定\(a\)；求\(\frac{1}{1+e^{17a}}\)。

熟悉關鍵函數及操做：\(s(-((a<<4)+a))\)，共\(6\)次操做。

Subtask3

給定\(a\)，求\(fu(a)\)，其中\(fu(a) = \{-1,0,1\}\)。

能夠發現\(s(x)\)在\(x\to \infty\)時\(\to 1\)，在\(x\to -\infty\)時\(\to 0\)。
因此經過放縮就可以實現正、\(0\)、負數的區分了，即\([s(a<<500)-0.5]<<1\)，共\(6\)次操做。

Subtask4

給定\(a\)；求\(|a|\)。

最爲關鍵的一檔部分分。
首先\(s'(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\)，\(s'(0)=\frac{1}{4}\)，因此當\(x\to 0\)，則\(s(x)\to \frac{x}{4}+\frac{1}{2}\)。
因此考慮用\(x\to 0\)時的\(s(x)\)構造咱們須要的值。
考慮\(INFs(INFx)=[\{INF,x>0\},\{0,x<0\}]\)。
那麼\(s(\frac{x}{INF}+INFs(INFx))=[\{1,x>0\},\{\frac{x}{4INF}+\frac{1}{2},x<0\}]\)，而後對着構造便可。
至於\(0\)的尷尬處境，經過加\(eps\)解決，令\(b=a+eps\)。
操做爲：\(-8INF([s(\frac{b}{INF}+4INFs(INFb))]-\frac{1}{2})+b+4INFs(INFb)\)，共\(14\)次操做。
這個\(Subtask\)的構造思想以後要反覆用到。

Subtask5

給定二進制數\(a\)，把它翻譯爲十進制數。

開始寫\(for\)：對後\(31\)位模擬便可(第\(32\)位直接取)，共\(95\)次操做。

Subtask6

給定十進制數\(a\)，把它翻譯爲二進制數。

核心思想：從高位到低位，把當前數\(-2^t\)，若\(\ge 0\)則爲\(1\)，不然爲\(0\)。
與\(Subtask3\)蜜汁相像啊。先寫出一個大概：\(s((x-2^t+eps)<<500)>>500\)。
而後來卡常，不難發現每次都左移十分浪費，因此預先左移一次便可。
再者第\(0\)位貌似不須要該操做，直接取當前結果便可，經過卡常共\(190\)次操做。

Subtask7

給定兩個數\(a,b\)；求\(a\ xor\ b\)。

先轉爲二進制數操做，最後再轉回十進制，那麼只須要考慮某一位的答案。
考慮支持函數：\(f(x=\{0,1,2\})=[\{0,x=0,2\}\{1,x=1\}]\)，而後用\(f(x)\)求答案便可。
不難想到\(f(x)=x-s((x-1.5)<<500)<<1\)。一共\(603\)次操做。

Subtask8

給定\(a\)；求\(\frac{a}{10}\)。

考慮求\(s'(x_0)=\frac{1}{10}\)，而後當\(x\to x_0\)，\(s(x)=s(x_0)+\frac{1}{10}(x-x_0)\)。
手解可得：\(x_0=-ln(\frac{3+\sqrt{5}}{2})\)，先各憑本事把\(x_0\)和\(s(x_0)\)的高精小數搞出來再說。
而後就比較簡單了，\(s(\frac{x}{INF}+x_0)=s(x_0)+\frac{x}{10INF}\)。
因此操做爲：\([s(x>>500+x_0)-s(x_0)]<<500\)，共\(7\)次操做。

Subtask9

給定\(a_{1,2...,32}\)；把\(a\)數組排好序後輸出來。

冒泡排序，每次操做：\(t=a_i+a_{i+1},a_{i+1}=a_i+max(0,a_i-a_{i+1}),a_i=t-a_{i+1}\)。
惟一的問題在於實現\(f(t)=max(0,t)\)，應該已經輕車熟路了吧。
一種可行構造：\(f(t)=x-4INF(s(\frac{t}{INF}+2INFs(INFt))-\frac{1}{2})+2INFs(INFt)\)。
共\(2192\)次操做。

Subtask10

給定\(a,b,c\)；實現\(a\times b \% c\)。

分兩步，先算\(a\times b=t\)，再算\(t\% c\)。
第一步龜速乘，先把\(b\)轉化爲二進制數，設第\(i\)位爲\(b_i\)。
咱們須要一個函數\(f(x,t=\{0,1\})=[\{0,t=0\},\{x,t=1\}]\)，作出\(f(x,t)\)事情就簡單了。
注意到\(s(-\infty)\to 0\)，因此\(f(x,t)\)大概形式爲\(s(x+INF(t-1))\)，但這樣得不到\(x\)的值。
再次利用\(Sub4\)、\(Sub8\)的那種方法便可。
最終設計出來\(f(x,t)=2INF(-t+s(\frac{x}{INF}+INF(t-1))<<1)\)。
而後來實現取模，核心思想相似\(Sub6\)，須要函數\(g(x)=[\{1,x\ge 0\},\{0,x<0\}]\)。
因爲\(x\)是整數域\(Z\)下的，因此這個就比較簡單了，\(g(x)=s(INF(x+0.5))\)。一共\(1493\)步。