歐拉定理

時間 2020-06-03

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定義

若是正整數 $n$ 和整數 $a$ 互質，那麼就有數組

\[a^{\varphi \left( n \right)}\equiv 1\ \left( mod\ n \right) \]

其中歐拉函數$\varphi \left( n \right)$ 爲」小於 $n$ 的正整數中而且與 $n$ 互質的數的個數「。
互質：即天然數 $X$ 和 $Y$ 的最大公因/約數爲1 栗子：7 和 3 公約數只有1。
$ \equiv $: 同餘關係。例如：$X$ $ \equiv $ $Y$ (mod $n$), 即 $X$ mod $n$ 和 $Y$ mod $n$ 的餘數相同。函數

基礎知識

1.惟一質數分解定理（Unique factorisation theorem）

任何一個正整數 $n$ > 1 均可以惟一地分解爲一組質數的乘積ui

\[n=2^{e_1}\times 3^{e_2}\times 5^{e_3}\times \cdots =\prod_{k=1}^{\infty}{p_{k}^{e^k}} \]

其中 $ e_1,e_2,\cdots \in N $ ，咱們稱這個分解爲 $n$的標準分解
解釋：由於一個數確定是由合數和質數構成的，合數又能夠分解成質數和合數，最後遞歸下去就會變成質數的乘積，最後化成了質數相乘的形式。如 $100\rightarrow 4\times 25\rightarrow 2^2\times 5^2$spa

2.最大公因/約數（GCD）、最小公倍數（LCM）、互質（Coprime）

因數：指整數 a 除以 b (b!=0) 的商正好是整數而沒有餘數，咱們就能夠說 b 是 a 的因數。
公因數：兩個或多個數共同都有的因數叫作公因數.
最大公因數：兩個或多個數都有的因數裏最大的叫作最大公因數。blog

倍數：一個整數可以被另外一個整數整除，這個整數就是另外一整數的倍數。如同上面的因數概念，a 即爲 b的倍數。
公倍數：兩個或多個都有的倍數叫作公倍數。
最小公倍數：兩個或多個數都有的倍數裏最小的叫作最小公倍數。遞歸

互質：對於整數 $a,b$ 咱們記 $ gcd\left( a,b \right) $ 和 $ lcm\left( a,b \right) $ 爲 $a,b$ 的最大公因數和最小公倍數，有時候咱們會直接把他們簡寫爲 $ \left( a,b \right) $ 和 $ \left[ a,b \right] $ 。若是 $ gcd\left( a,b \right) =1 $ ，咱們稱 $a,b$ 互質，也就是說他們沒有任何共同的質因數。Attention: 1不爲質數/素數。rem

基本性質get

$ gcd\left( a,b \right) =gcd\left( a\pm b,b \right) $

$ gcd\left( na,nb \right) =ngcd\left( a,b \right) $

$ gcd\left( a,b \right) =\frac{a\cdot b}{lcm\left( a,b \right)} $

裴蜀定理：存在整數 $x,y$ 使得 $ gcd\left( a,b \right) =ax+by $

3.同餘關係（Congruence relations）

整數 a 和 b 除以 n 的餘數相同，則稱 a, b 模 n 同於，記做數學

\[a\equiv b\ \left( mod\ n \right) \]

若是對於整數 $ a_1,a_2,b_1,b_2 $io

\[a_1\equiv b_1\left( mod\ n \right) \]

\[a_2\equiv b_2\left( mod\ n \right) \]

那麼能夠它們進行相加或相減

\[a_1\pm a_2\equiv b_1\pm b_2\left( mod\ n \right) \]

同時也能進行相乘

\[a_1a_2\equiv b_1b_2\left( mod\ n \right) \]

綜上兩條性質，即若是 $a\equiv b\ \left( mod\ n \right)$，那麼

\[p\left( a \right) \equiv p\left( b \right) \left( mod\ n \right) \]

Attention: P(x) 爲任意整數多項式。

這裏須要注意的一點是，若是整數 $ a,b,c $ 知足

\[ac\equiv bc\ \left( mod\ n \right) \]

那麼只有當 $n,c$ 互質時才能夠把兩邊的 $c$ 直接約掉，獲得 $a\equiv b\ \left( mod\ n \right)$ ，更通常的

\[a\equiv b\ \left( mod\frac{n}{gcd\left( n,c \right)} \right) \]

4.同餘類(Residue class)、徹底剩餘系(Complete residue system)、縮剩餘系(Reduced residue system)

經過一個整數模 $n$ 的餘數，咱們能夠把全部整數分紅 $n$ 類，記

\[\bar{r}_n=\left\{ m\in Z\ |\ mn+r \right\} \]

爲模 $n$ 餘 $r$ 的同餘類（也叫剩餘類）。

舉個例子

\[4_{10}=\left\{ \cdots ,-16,-6,4,14,24,\cdots \right\} \]

是模 10 餘 4 的同餘類

從 $ 0_n,1_n,2_n,\cdots ,\overline{\left( n-1 \right) }_n $ 中各挑出一個數就組成了一個模 $n$ 的徹底剩餘系（完系） $ R_n $

\[R_n=\left\{ r_0,r_1,\cdots ,r_{n-1} \right\} \]

其中 $ r_0\epsilon 0_n,r_1\epsilon 1_n,r_2\epsilon 2_n,\cdots ,r_{n-1}\epsilon \overline{\left( n-1 \right) _n} $

換言之， $n$ 個模 $n$ 互相不一樣餘的整數組成一個模 $n$ 的徹底剩餘系。

咱們稱 $ R_n=\left\{ 0,1,\cdots ,n-1 \right\} $ 爲模 $n$的最小非負徹底剩餘系（最小非負完系）。

取一個模 $n$ 的徹底剩餘系 $ R_n $ ，取出裏面全部和 $n$ 互質的數，這些數組成一個模 $n$ 的縮剩餘系（縮系），記爲 $ \varPhi _n $

\[\varPhi _n=\left\{ c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)} \right\} \]

其中 $ \varphi \left( n \right) $ 是序言裏提到的歐拉函數，表明「小於 $n$ 的正整數中和 $n$ 互質的數」的個數。

栗子：假設$ R_6=\left\{ 36_0,7_1,14_2,15_3,22_4,23_5 \right\} $ 爲模6的徹底剩餘系，下標爲餘數，從裏面找出全部和 6 互質的數，組成一個模 6 的縮剩餘系 $ \varPhi _6=\left\{ 7_1,23_5 \right\} $。咱們能夠發現1 和 5 也恰好是 $ \varphi \left( 6 \right) =2 $ 結果中的兩個與其互質的數。

注意，由於 $ gcd\left( c_i,n \right) =gcd\left( c_i+n,n \right) =1 $ ，每個模 $n$ 的縮剩餘繫有相同數量的元素（縮剩餘系中的每個數所屬的同餘類是肯定的，因此總共有肯定的 $\varphi \left( n \right) $ 個同餘類）

若是縮剩餘系 $\varPhi _n=\left\{ c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)} \right\}$ 知足 $ 1\le c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)}\le n-1 $ ，那麼稱其爲模 $n$ 的最小正縮剩餘系（最小正縮系）。

5.歐拉函數(Euler's totient function)

對於正整數 $n$ ， $\varphi \left( n \right) $表明「小於 $n$ 的正整數中和 $n$ 互質的數」的個數，這個函數被稱爲歐拉函數；歐拉還告訴咱們

\[\frac{\varphi \left( n \right)}{n}=\prod_{p|n}{\left( 1-\frac{1}{p} \right)} \]

其中 $p$ 取到 $n$ 的全部質因數

因此咱們能夠很方便的計算一個正整數歐拉函數的值（根據惟一質數分解定理），好比

\[\varphi \left( 1926 \right) =\varphi \left( 2\times 3^2\times 107 \right) =1926\left( 1-\frac{1}{2} \right) \left( 1-\frac{1}{3} \right) \left( 1-\frac{1}{107} \right) =636 \]

歐拉定理的證實

考慮模 $n$ 的最小正縮系

\[\varPhi _n=\left\{ c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)} \right\} \]

已知 $ gcd\left( a,n \right) =1 $ 咱們在 $ \varPhi _n $ 的每個元素前面都乘一個 $a$

\[a\varPhi _n=\left\{ ac_1,ac_2,\cdots ,ac_{\varphi \left( n \right)} \right\} \]

利用反證法能夠證實 $ a\varPhi _n $ 也是一個模 $n$ 的縮系（其元素的同餘類的順序有可能會改變，可是這並無任何影響），假設

\[ac_i=ac_j\ \left( mod\ n \right) \]

其中 $ i\ne j $ ，由於 $a,n$ 互質能夠將兩邊消去 $a$，那麼就獲得

\[c_i=c_j\ \left( mod\ n \right) \]

這是不可能的，由於 $ \varPhi _n $ 中的元素互相模 $n$ 不一樣餘，矛盾啦！

接下來的思路就比較清晰了，由於 $ \varPhi _n $ 和 $ a\varPhi _n $ 都是模 $n$ 的縮系

\[\prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{c_i}\equiv \prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{ac_i}=a^{\varphi \left( n \right)}\prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{c_i}\ mod\left( n \right) \]

顯然 $ gcd\left( n,\ \prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{c_i} \right) =1 $ 因此能夠兩邊消去它

\[a^{\varphi \left( n \right)}\equiv 1\ \left( mod\ n \right) \]

補充說明：由於 $ \varPhi _n $爲最小正縮系【{1，2，3，...，n-1}最小徹底剩餘系中挑選的與n互質的數組成】，即 $ a\Phi _n\equiv \Phi _n\left( mod\ n \right) =\Phi _n $ 。那爲何兩個縮系各自的乘積取n得模依舊相等？例如$ \Phi _3=\left\{ 1,2 \right\} $ 和 $ 2\Phi _3=\left\{ 2,4 \right\} $ 咱們發現，$ 1\times 2\ mod\ 3=2\times 4\ mod\ 3\ =\ 2 $ 且2，8都3互質。
證畢！