神奇的動歸狀態轉移方程——最優子序列

最優子序列問題：

給定一個序列，求和最大的連續子序列(由於序列中會有負值存在)。

一些樸素算法就再也不說了，仍是說說DP。

考慮待查序列a[1...n]，定義b[i]爲序列a[1...i]的最大後綴，因而乎有了以下動歸方程：

         b[i]=max{ b[i-1]+a[i] , a[i] } 

爲何呢？針對b[i-1]考慮僅有的兩種狀況：1).若b[i-1]>0，那麼a[1...i]的最大後綴必然是a[i]+b[i-1]。2).若b[i-1]<=0，固然a[1...i]的最大後綴就是a[i]了！

如今考慮b[1...n]，由於b[i]是a[1...i]的最大後綴的和，那麼a[1...n]的最大子序列必然是b[i]中的一個(由於最大子序列必然是a[1...n]某個前綴串的後綴串)，顯然是b[i]中的最大值！

接下來就是一次掃描計算b[1...n]，而後找出最大的就OK了！

原理很簡單，不過這個DP的動態轉移方程……爲何動態規劃裏的狀態轉移方程老是那麼神奇???!!!

代碼以下：

b[0]=a[0];
for(i=1;i<n;i++)
{
    if(b[i-1]>0) b[i]=b[i-1]+a[i];
    else b[i]=a[i];
}
for(i=1;i<n;i++)
    if(b[i]>b[0]) b[0]=b[i];
cout<<b[0]<<endl ;

顯然，能夠作一個優化！

每一次循環迭代計算b[i]，咱們只須要知道前一次迭代b[i-1]的值，因此不必存b[1...n]的全部值。每一次計算b[i]，只須要根據前一次的迭代值pre計算本次迭代的值，時刻更新最大值！

代碼以下：

max=0; pre=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
    if(pre>=0) pre+=a[i];
    else pre=a[i];
    if(pre>max) max=pre;
}
cout<<max<<endl;

還有一種迭代方式,這個稍微須要轉換一下思惟。pre記錄當前掃描位置a[i]對應的a[1...n]的前綴a[1...i]最長的非負後綴的和，顯然若本次迭代後pre非負，那麼就能夠做爲下一次掃描的前綴！若本次迭代後pre<0，那麼pre置零(至關於從新開始記錄一個序列)。

由於最終的最大子序列必然沒有一個負前綴(不然能夠去掉這個前綴以得到更大的子序列),那麼a[1...n]的最大子序列必然就會出如今某次pre中(由於a[1...n]的最大子序列必然是迭代過程當中的一個非負前綴)，每次迭代更新最大值保存最大子序列之和。

代碼以下：

max=0;pre=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
pre+=a[i];
if(pre>max) max=pre;
if(pre<0) pre=0;
}
cout<<max<<endl;

搞完最大子序列，又想到最大子矩陣，不過最大子矩陣就略微苦逼一點。迭代i , j把第 i~j 行壓縮至一行，而後利用最大子序列來計算，時間複雜度O(n^3)……

目前貌似沒有一個比較好的算法，值得研究一下！