題解——洛谷P4767 [IOI2000]郵局（區間DP）

這題是一道區間DP

思惟難度主要集中在如何預處理距離上

由生活經驗得，郵局放在中間顯然最優

因此咱們能夠遞推求出\( w[i][j] \)表示i,j之間放一個郵局得距離

而後設出狀態轉移方程

設\( dp[i][j] \)表示從1開始到i放j個郵局的最短距離

而後轉移爲：\( dp[i][j]=min(dp[k][j-1]+w[k+1][j],dp[i][j]),i \le k \le j \)

顯然是個\( O(n^{3}) \)的DP

可以得40分

#include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring>
#define int long long
using namespace std; int w[3010][3010],dp[3010][310],n,p,x[3010]; signed main(){ scanf("%lld %lld",&n,&p); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&x[i]); sort(x+1,x+n+1); memset(w,0x3f,sizeof(w)); for(int i=1;i<=n;i++) w[i][i]=0; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) w[i][j]=w[i][j-1]+x[j]-x[(i+j)/2]; memset(dp,0x3f,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][1]=w[1][i]; for(int i=1;i<=p;i++) dp[i][i]=0; for(int i=2;i<=p;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) for(int k=i-1;k<=j;k++){ dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[k][i-1]+w[k+1][j]); //5 printf("%d %d %d %d\n",i,j,k,dp[j][i]);
 } /*for(int l=1;l<=n;l++) for(int i=1;i+l<=n;++) printf("w[%d][%d]=%d\n",i,i+l,w[i][i+l]);*/ printf("%lld\n",dp[n][p]); return 0; }

而後就是優化

咱們能夠發現一些顯然的性質

\( w[i^{'}][j] \le w[i][j^{'}] , i \le i^{'} \le j \le j^{'} \)

\( w[i][j]+w[i^{'}][j^{'}] \le w[i^{'}][j]+w[i][j^{'}] \)

而後就能夠用四邊形不等式優化DP了！

而後QwQ

複雜度\( O(n^{2}) \)

沒了

#include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring>
#define int long long
using namespace std; int w[3010][3010],dp[3010][310],n,p,x[3010],s[3010][310]; signed main(){ scanf("%lld %lld",&n,&p); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&x[i]); sort(x+1,x+n+1); memset(w,0x3f,sizeof(w)); for(int i=1;i<=n;i++) w[i][i]=0; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) w[i][j]=w[i][j-1]+x[j]-x[(i+j)/2]; memset(dp,0x3f,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][1]=w[1][i],s[i][1]=0;; for(int i=1;i<=p;i++) dp[i][i]=0; for(int i=2;i<=p;i++){ s[n+1][i]=n; for(int j=n;j>=i+1;j--) for(int k=s[j][i-1];k<=s[j+1][i];k++) if(dp[j][i]>dp[k][i-1]+w[k+1][j]){ dp[j][i]=dp[k][i-1]+w[k+1][j]; s[j][i]=k; //5 printf("%d %d %d %d\n",i,j,k,dp[j][i]);
 } } /*for(int l=1;l<=n;l++) for(int i=1;i+l<=n;++) printf("w[%d][%d]=%d\n",i,i+l,w[i][i+l]);*/ printf("%lld\n",dp[n][p]); return 0; }