[BJWC2011]元素

題目

  點這裏看題目。

分析

  若是稱\(Magic\)爲權，\(Number\)爲值，咱們須要求的是一個異或意義下，值線性不相關並且權的和最大的問題，也就是權值之和最大的極大線性無關組。
  看到這個形式的問題，咱們就能夠考慮向擬陣的方向去靠一靠了。
  設\(S=\{Number_i\}, I=\{x:x\subseteq S, \text{x的任意非空子集是線性無關的}\}\)。
  考慮\(<S,I>\)是否爲一個子集系統：
  遺傳性：假若有\(B\in I\)，則對於任意一個非空\(A\subseteq B\)，因爲\(B\)的任意非空子集線性無關，因此\(A\)的任意非空子集也是線性無關的，所以\(A\in I\)，證畢。
  考慮\(<S,I>\)是否爲一個擬陣：
  交換性：設\(A,B\in I,|A|<|B|\)，咱們要證實，\(\exists x\in B-A, A\cup \{x\}\in I\)。
  反證法，即假設對於任意\(x\in B-A\)，都不知足\(A\cup \{x\}\in I\)。這說明這樣的\(x\)全在\(A\)的線性空間中（即均可以用\(A\)中的異或出來）。所以\(B\)的元素全在\(A\)的線性空間中，所以\(B\)的線性空間包含在\(A\)的線性空間中。因爲\(|A|<|B|\)，且\(A\)和\(B\)各自的任意非空子集都是線性無關的，所以矛盾。所以存在交換律，證畢。

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  說了這麼多我以爲你們也不太想看。
  簡單來講，咱們就能夠直接按照擬陣的貪心思路，維護一個線性無關組\(A\)，將礦石按照\(Magic\)從大到小在保證線性無關的前提下嘗試着插入到\(A\)，若是能夠插入就能夠計入答案。線性無關組能夠用線性基來維護，所以時間是\(O(n\log_2n +n\log_2 Number_{\max})\)。

代碼

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int MAXN = 1005, MAXLOG = 70;

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0;char s = getchar();int f = 1;
	while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}
	while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}
	x *= f;
}

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }
	if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }
	putchar( x % 10 + '0' );
}

struct element
{
	LL num; int mag;
	element() { num = mag = 0; }
	bool operator < ( const element & b ) const { return mag > b.mag; }
}a[MAXN];

LL base[MAXLOG];
int N;

void insert( LL v )
{
	for( int j = 60 ; ~ j ; j -- )
		if( v >> j & 1 )
		{
			if( ! base[j] ) { base[j] = v; break; }
			v ^= base[j];
		}
}

bool chk( LL v )
{
	for( int j = 60 ; ~ j ; j -- )
		if( v >> j & 1 )
			v ^= base[j];
	return ! v;
}

int main()
{
	read( N );
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) read( a[i].num ), read( a[i].mag );
	std :: sort( a + 1, a + 1 + N );
	int ans = 0;
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) if( ! chk( a[i].num ) ) ans += a[i].mag, insert( a[i].num );
	write( ans ), putchar( '\n' );
	return 0;
}