ZOJ3772 - Calculate the Function(線段樹+矩陣)

題目大意

給定一個序列A₁ A₂ .. A_N 和M個查詢

• 每一個查詢含有兩個數 L_i 和R_i.
• 查詢定義了一個函數 F_i(x) 在區間 [L_i, R_i] ∈ Z.
• F_i(L_i) = A_Li
• F_i(L_i + 1) = A_{(Li + 1)}
• 對於全部的x >= L_i + 2, F_i(x) = F_i(x - 1) + F_i(x - 2) × A_x

_求Fi(Ri)

題解

_{根據遞推式能夠構造一個矩陣：}

_{繼續展開，最終矩陣就是這個樣子的了}

_{所以每次查詢就是求矩陣的連乘}

_{普通的作法就是每查詢一次線性計算一次上式，時間複雜度O(n),因此總的時間複雜度爲O(m*n),顯然要跪。。。線段樹就很好的解決了這個問題，每一個結點保存的都是一個矩陣，這樣查詢的時候就只須要O(logn)的時間了！}

代碼：

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <stdio.h>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define MOD 1000000007
#define lson l,m,s<<1
#define rson m+1,r,s<<1|1
typedef long long LL;
struct Matrix
{
    LL mat[2][2];
    int r;
    void init(int n)
    {
        memset(mat,0,sizeof(mat));
        r=n;
    }
};
Matrix matrix_mul(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix ans;
    ans.init(a.r);
    for(int i=0; i<a.r; i++)
        for(int j=0; j<a.r; j++)
            for(int k=0; k<a.r; k++)
                if(a.mat[i][k]&&b.mat[k][j])
                    ans.mat[i][j]=(ans.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%MOD;
    return ans;
}
LL a[maxn];
Matrix sum[maxn<<2];
void Pushup(int s)
{
    sum[s]=matrix_mul(sum[s<<1|1],sum[s<<1]);
}
void build(int l,int r,int s)
{
    sum[s].init(2);
    if(l==r)
    {
        sum[s].mat[0][0]=sum[s].mat[1][0]=1;
        sum[s].mat[0][1]=a[r];
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    Pushup(s);
}
Matrix query(int ql,int qr,int l,int r,int s)
{
    if(ql<=l&&r<=qr) return sum[s];
    int m=(l+r)>>1;
    Matrix ret;
    ret.init(2);
    ret.mat[0][0]=ret.mat[1][1]=1;
    if(qr>m)  ret=matrix_mul(ret,query(ql,qr,rson));
    if(ql<=m) ret=matrix_mul(ret,query(ql,qr,lson));
    return ret;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%lld",&a[i]);
        build(1,n,1);
        while(m--)
        {
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r);
            if(l==r||(l+1)==r)
            {
                printf("%lld\n",a[r]);
                continue;
            }
            Matrix ans=query(l+2,r,1,n,1);
            //printf("%I64d %I64d\n",ans.mat[0][0],ans.mat[0][1]);
            // printf("%I64d %I64d\n",ans.mat[1][0],ans.mat[1][1]);
            printf("%lld\n",(ans.mat[0][0]*a[l+1]+ans.mat[0][1]*a[l])%MOD);
        }
    }
    return 0;
}