關於戴德金分割的幾點思考

謹以此文記念楊振寧、李政道先生得到諾貝爾物理學獎60週年.

由無理數引起的數學危機一直延續到19世紀，直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的「分割」來定義無理數，並把實數理論創建在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認爲「無理」的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機.

戴德金分割

已知對於戴德金分割，把實數域拆分紅兩個均非空集A及A'，使能知足：

情形1：每一實數必落在集A，A'中一個且僅一個以內

情形2：集A的每一數α小於集A'的每一數α'

戴德金定理

它是刻畫實數連續性的命題之一，也稱實數完備性定理，它斷言，若A|A'是實數系R(即有理數集的全部戴德金分割的集合，並以明顯的方式定義了大小順序及四則運算)的戴德金分割，則由它可肯定唯一實數β，若β落在A內，則它爲A中最大元，若β落在A'內，則它是A'中最小元，這個定理說明，R的分割與全體實數是一一對應的，反映在數軸上，它又說明R的分割再也不出現空隙，所以，這個定理可用來刻畫實數的連續性.

下面咱們在戴德金分割的基礎上給出戴德金(基本)定理的證實過程：

將屬於A的一切有理數集記成A，屬於A'的一切有理數集記成A'，容易證實，集A及集A'造成有理數域內的一個分劃，這分劃A|A'肯定出某一實數β，它應該落在A組或A'組之一內，假定β落在下組A內，則這樣就實現了情形1，β就是A組的最大數，假定若是不是這樣，即可在這組內找出大於β的另外一數α0，如今α0與β之間插入有理數r，使α0>r>β，r亦屬於A，故必屬於A的一部分，這樣就得出了謬論，即有理數r屬於肯定β的戴德金分割的下組，卻又大於β，所以，就證實了戴德金定理的正確性，相似地，若是假定β落在上組A'內，一樣能夠證實.

戴德金分割存在的幾點疑問：

1.根據戴德金分割(咱們能夠)證實：1=0.999......

證實：設 t=0.999......，做兩個有理數集的分割

A={x|x<t,x有理數}，B={x|x>=t,x有理數}

C={x|x<1,x有理數}，D={x|x>=1,x有理數}

分割A/B肯定了實數t=0.999......(咱們暫時不知道t=0.999......是有理數仍是無理數)

分割C/D肯定了有理數1

爲證實 t=1，咱們只須要證實這兩個分割是相同的，即證實 A=C

如有理數 x∈A，則顯然有 x<1，因而 x∈C

如有理數 x∈C，則 x<1，不妨設 x>0

根據有理數的定義，咱們能夠把x用分數的形式表示爲

x=p/q，(p，q爲正整數)

既然0<x<1，則必有p<q

因而由1-p/q>=1/q>0，可得存在正整數n，使得

1/q>1/10^n>0

x=p/q<=1-1/q<1-1/10^n=0.99...9(n個9)<t

既然x<t，這就說明x∈A

由上，咱們就獲得了A=C，從而，A/B和C/D是兩個相同的分割，所以， 0.999...=t=1

2.循環整數

由於，0.9循環-0.8循環=0.1循環，因此，等式兩邊同時去掉「0」與「.」後有：

9循環-8循環=1循環，咱們把9循環，8循環，1循環稱爲循環整數

咱們知道在任什麼時候候，0.9循環等於0.9循環，不可能你在作一道題時你前一分鐘使用的0.9循環比後一分鐘使用的0.9循環小，有0.9循環的小數位循環與時間沒有關係，循環小數是常數，循環整數的基礎是循環小數，決定了循環整數是常數，且循環整數不是無窮大的數，由於無窮大是變量，而常數在數軸上有對應的固定點，可得，9循環的整數位循環與時間沒有關係且9循環的整數位個數等於0.9循環的小數位個數.

設Q=9循環/0.9循環，有Q-9循環=1，獲得，1-0.9循環=Q/Q-9循環/Q=1/Q

由於Q大於0，因此1/Q大於0，即1-0.9循環>0

找到了大於0.999...而小於1的常數，如0.999......<0.999......+0.01/9循環<1

以1/Q爲單元能夠推導出牛頓-萊布尼茨公式和弧長公式等微積份內容

綜上，循環整數的引入，致使1-0.999......>0，與戴德金分割的1=0.999......存在不一樣的結果

戴德金分割存在的數學問題會涉及不少的物理問題，好比真空量子漲落沒有違背能量守恆，咱們知道在真空量子漲落裏，產生的能量越大，則該能量存在的時間越短，漲落髮生在空間中的任何地方，並且能量存在的時間很是短，時刻一到，它就要消失，時空糾纏計算也揭示出這種現象，時空糾纏能量越大的時候，能量在四維時空存在的時間就越短，時空糾纏能量越小的時候，能量在四維時空存在的時間就越長，這裏跟量子糾纏和暗物質也有關聯，時空糾纏的存在，說明了不一樣維度時空不是獨立存在的，不一樣維度時空是個糾纏的總體.