超幾何分佈與二項分佈及其指望

驚奇的發現選修2-3上有指望的介紹，不過我沒有課本啊qwq。只能去網上找資料了。。

這兩節我感受比較有意思，就記一下吧

超幾何分佈

名字真高大上

定義

超幾何分佈(Hypergeometric distribution)是統計學上一種離散機率分佈。它描述了由有限個物件中抽出$n$個物件，成功抽出指定種類的物件的個數（不歸還 (without replacement)）。

舉個例子：

$N$個物品中有$M$個是不合格的，超幾何分佈描述了在這$N$個樣本中選$n$個，其中有$k$個是不合格的機率

$$P(x = k) = \frac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n}$$

 

若隨機變量$X$服從參數爲$n, M, N$的超幾何分佈，則記爲$$x \sim H(n, M, N)$$

指望

$E(x) = \frac{nM}{N}$

證實(前方高能)：

前置定理：

1. $k * C_M^k = M * C_{M - 1}^{k - 1}$

2. $\sum_{k = 0}^m C_M^k C_{N - M}^{n - k} = C_N^n$

推導過程

\begin{aligned}
E(x) &= \sum_{k = 0}^m k * \frac{C_M^k * C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} \\
&=\frac{1}{C_N^n} \sum_{k = 0}^m k C_M^K * C_{N - M}^{n - k}\\
&=\frac{1}{C_N^n} \sum_{k = 1}^m M C_{M - 1}^{k - 1} C_{N - M}^{n - k}\\
&=\frac{M}{C_N^n} \sum_{k = 1}^m C_{M - 1}^{k - 1}C_{N - M}^{n - k}\\
&=\frac{M}{C_N^n} C_{N - 1}^{n - 1} \\
&=\frac{nM}{N}
\end{aligned}

 

方差

$$D(x) = {n(\frac{M}{N})(1-\frac{M}{N})(N-n) \over (N-1)}$$

 

二項分佈

定義

在機率論和統計學中，二項分佈（Binomial distribution）是$n$個獨立的是/非試驗中成功的次數的離散機率分佈，其中每次試驗的成功機率爲$p$。這樣的單次成功/失敗試驗又稱爲伯努利試驗。

實際上，當$n = 1$時，二項分佈就是伯努利分佈。

通常地，若是隨機變量$X$服從參數$n$和$p$的二項分佈，咱們記$x \sim b(n, p)$或$X \sim B(n, p)$.$n$次試驗中正好獲得$k$次成功的機率爲

$f(x;n,p) = P(x = k) C_n^k \ p^k \ (1-p)^{n- k}$

 

指望

$E(x) = np$

證實

這不是很顯然的麼qwq。

$n$次試驗均爲獨立的，每次試驗的成功率爲$p$

根據指望的線性性$E(x) = E(x_1) + E(x_2) + \dots E(x_n) = np$

 

若是你想找刺激的話能夠繼續往下看

$$P(X=k) = {n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\$$

\begin{aligned}
EX &= \sum_{k=0}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\
&= \sum_{k=1}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\
&= \sum_{k=1}^n k {\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^kq^{n-k} \\
&= np\sum_{k=1}^n {\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)} \\
&= np\sum_{k=1}^n{n-1\choose k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\
&= np[{n-1\choose 0}p^0q^{n-1}+{n-1\choose 1}p^1q^{n-2}+...+{n-1\choose n-1}p^{n-1}q^0] \\
&= np
\end{aligned}

最後一步能夠由二項式定理推得

方差

$$D(x) = np(1 - p)$$

參考資料

維基百科—超幾何分佈

維基百科—二項分佈

二項分佈的指望方差證實