03 幾何法求導

視頻連接：https://www.bilibili.com/video/av10396996/

 

這一節課，咱們會用可視化的方式直觀的思考導數公式的意義。

並鼓勵你永遠不要忘記，微小的變化纔是導數的意義。

在一個公式f(x)中，當咱們的x軸取值發生了dx的微小變化時，相應的在y軸產生了一個df的變化。

df/dx也就是這個變化的變化率。這就是導數的意義。

咱們知道當f(x)=x²時，咱們的變化率會隨着x的增長而增長。

當x=0時，是切線斜率是0

當x=1時，它的斜率稍微變得陡峭。

而隨着x的增長，會愈來愈陡峭。

接下來咱們用更直觀的方式來理解。

x²，能夠理解爲一個邊長爲x的正方形面積。

上圖這個正方形，咱們這個正方形設隨着x增長的而增長的面積爲df那麼：

 

增長的面積爲兩個豎條的面積各自爲：x*dx  而小方塊的面積爲: dx²

那麼df=2x*dx+dx²

df/dx=2x + dx

當dx逐漸縮小，dx能夠忽略不計。

咱們就獲得f(x²)的導數是 2x

一樣的道理能夠直觀的推導到三次方的公式上。

x³理解爲一個邊長爲x的立方體。

用上面的方法能夠很容易的直觀想象出，爲何x³求導公式是3x²

可是x三次方以上的冪函數咱們很難用幾何圖形的方式想象他的形狀。畢竟咱們的大腦是在三維空間中進化來的。

一下就是x的n次冪求導公式的推導。雖然不能直接用集合圖形法來證實，

可是把這個公式中的各個相加的項與咱們以前公式中的項相對應，仍是能夠幫助你更好的理解這個推導的過程。

並且圖像法也能夠告訴咱們，數學公式是有現實意義的，並不是只是純粹的計算技巧。

 

課程中還給出了一個思考題：本身經過圖形法推導1/x的導數。

視頻中還給出了提示：

使用圖形法，咱們能夠知道：1/x*x=1

這一點很明顯。而1/x*x能夠看作是一個底爲1/x，高爲x的矩形的面積。而這個矩形隨着x的變化面積永遠都爲1

那麼當x增長了dx時，右邊的面積增長了途中綠色的部分，約等於1/x*dx，上面也就是紅色部分的面積改變爲df*x

由於該矩形的面積不變，因此

1/x*dx+df*x=0

df*x=-1/x*dx

df/dx=-1/x²

 

 

最後，咱們來看看正弦函數的求導法。

關於正弦函數求導，視頻中主要使用了單位圓進行輔助推導。

對單位圓不熟悉的能夠先移步：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%9C%86

不瞭解單位圓後面的證實看着可能會有些地方難以理解

咱們先將sin(θ)的函數曲線繪製出來，而後看他的切線變化，大體獲得這樣一個圖形。

當2π*n+π/2時，切線是平的。而當2π*n+π時，切線的斜率最陡峭。並且呈現出週期性。

這個形狀與cos(θ)的函數很像。

如今咱們就用單位圓來看一下sin(θ)的求導公式是否是cos(θ)

如圖在單位園公式爲x²+y²=1，隨着θ的變化，y的值正好就是sin(θ)的值。

而θ的值與黃色的部分的長度也是相等的。

等等，爲何θ和值會θ角度下，對應的弧度長度一致呢？

其實很簡單。由於x²+y²=1，繪製出的圓的半徑爲1。在這個圖中能夠很明顯的看到這一點。

那麼這個的周長就是2π。的變化是從0到2π隨着θ的變化而均勻變化。

θ自身的變化也是從0到2π，均勻變化。很明顯他們的值是一一對應的。

 

當θ值發生微小變化的時候，好比增長了dθ

圓弧也隨之增長dθ。而y的值增長了看作d(sin(θ))

當咱們去的dθ很是小的時候，dθ的值約等於下圖中類似三角形的斜邊的值。

咱們用y值的變化d(sin(θ))/dθ，從圖中的類似三角形能夠看出，正好是鄰邊比斜邊的，也就是cos(θ)

 很明顯cos(θ)求導公式就是cos(θ)

那麼你是否可使用上面的方式證實一下。