Fansblog---威爾遜定理

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題意：給一個質數\(p\)，找小於\(p\)的最大質數\(q\)，並求\(q!modp\). \(p,q\epsilon(10^9, 10^{14})\)

題解：威爾遜定理：一個數\(n\)如果質數， 則有 \((n - 1)! \equiv n - 1 mod n\). 因而能夠先令\(ans = p - 1\), 再對\(p - 1\)到\(q\)的數對\(p\)求逆元。\(p\)到\(q\)之間的距離不會超過300，斷定一個\(10^{14}\)級別的素數能夠先用歐拉篩對\(10^{7}\)以內的素數打表（總共約\(6\times10^{6}\)個素數），這樣每次能夠用o(\(6\times10^{6}\))的時間判斷這個數是否是素數。（感謝董隊的__int128板子TUT）

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef __int128 ll;
const int maxn = 1e7 + 5;
int prime[maxn];
int visit[maxn];
inline __int128 read(){
    __int128 x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}

inline void print(__int128 x){
    if(x<0){
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9)
        print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void Prime(){
    for (int i = 2;i <= maxn; i++) {
        if (!visit[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;
        }
        for (int j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) {
            visit[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
}
int p[maxn], cnt;
ll qpow(ll x, ll y, ll mod) {
    ll base = x, res = 1;
    while(y) {
        if(y & 1) res = (res * base) % mod;
        base = (base * base) % mod;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}
bool isprime(ll x) {
    for(int i = 1; i <= cnt; i++) {
        if(p[i] >= x) return true;
        if((x % p[i]) == 0) return false;
    }
    return true;
}
int main() {
    Prime();
    for(int i = 2; i < maxn; i++) if(!visit[i]) p[++cnt] = i;
    int T;
    cin >> T;
    while(T--) {
        ll n;
        //scanf("%I128d", &n);
        n = read();
        ll ans = n - 1;
        ll i = n - 1;
        while(1) {
            if(isprime(i)) {
                break;
            }
            ans = (ans * qpow(i, n - 2, n)) % n;
            i--;
        }
        print(ans);
        printf("\n");
    }
}