零知識證實 | 1.什麼叫同態隱藏？

所謂零知識證實，指的是在不泄露祕密的前提下，證實我知道這個祕密。

舉個簡單例子，假設我一個月工資2000，我老婆一個月工資3000。我不會把這兩個數字透露給你，可是我能夠告訴你，我倆每月的工資加起來是5000。你能夠經過某種方式驗證我倆的工資加起來確實是5000，可是你沒辦法反推出來我每月的工資是多少，我老婆每月工資是多少。

要作到這一點，須要引入一個概念，叫作同態隱藏。這須要一些數論的知識，不過別擔憂，我也沒有學過數論，因此我會盡量用簡單的語言來解釋這個概念。

咱們把上面那個問題用數學語言描述一下：已知兩個數和，須要在不泄漏這兩個數的前提下，證實。

要實現這一點，咱們須要引入一個同態隱藏函數，該函數知足下面3個條件：

• 知道的值，無法反推出的值。這個很容易理解，若是能反推的話，祕密就暴露了
• 若是，那麼。也就是說，這是一個單射，或者叫一一映射
• 若是知道了和，就能夠算出。舉個例子：

若是找到了這個同態隱藏函數，問題就簡單了：我把跟的值告訴你，你用它們算出，而後判斷一下是否是等於就好了。也就是說，把驗證轉化成了驗證。

這個同態隱藏函數，用普通的加減乘除運算是無法實現的，咱們須要引入2個新的運算。

1.模p加法

p能夠是任意整數，不過爲了得到一些特殊性質，p通常取一個素數，好比7。

所謂模p加法，就是加完以後對p取模（除以p取餘數）。好比下面的例子：

咱們把集合跟模p加法運算一塊兒稱爲一個有限羣。

集合的元素個數稱爲有限羣的階，因此上面是一個7階有限羣。

2.模p乘法

和模p加法相似，模p乘法就是相乘之再對p取模。好比下面的例子：

顯然，這也是一個7階有限羣。

另外還有一個有趣的現象，若是讓集合中的每一個元素對自身不斷地作模p乘法（即乘方），觀察我標紅的那兩行：

有沒有發現，集合中的每一個元素均可以被生成出來（只不過順序被打亂了）？這種羣被稱爲循環羣，元素3或者5稱爲一個生成元。實際上，全部素數階的有限羣都是循環羣。

3.同態隱藏函數

有了上面這些背景知識，咱們就能夠來尋找同態隱藏函數了。

在上面的例子裏，生成元。假設咱們取3，定義。

這個函數是否是真的知足以前提到的3個條件呢？咱們來確認一下：

• 因爲生成的元素的順序是亂的，因此無法根據反推出。你可能會說，根據上面那張表不就能反推出來了嗎？在實際應用中，p一般是一個很大的素數，好比量級的數，因此以目前計算機的計算能力，是沒有辦法算出完整的表的（術語叫離散對數難題）
• 若是，那麼。這條是知足的，由於生成元的做用就是生成集合中的每個元素，從表中的數據也能夠看出來
• 根據和能夠算出。在這個例子裏，。注意這裏和的取值範圍是，因此這裏的的加法是模p-1加法，爲了公式簡潔沒有顯式指明。咱們來證實一下，根據指數運算法則：

好了，如今咱們有同態隱藏函數了，接下來經過實際的例子加深理解。

咱們要保護的祕密是。咱們計算出和，把它們的值提供給驗證者：

驗證者驗證是否等於：

驗證成功！如今驗證者能夠確認我知道跟的值，而且。可是，他並不知道和的具體值是多少，咱們的目的達到了。

總結一下：同態隱藏就是經過一種特殊的映射函數，打亂原始數據的順序。根據映射值不能反推出原始值，可是映射值之間的關係能夠反映原始值之間的關係。