根號2是無理數的證實

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• \(\sqrt{2}\)是無理數

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\(\sqrt{2}\)是無理數

證實：
利用反證法。假設\(\sqrt{2}\)是有理數，因而存在互質的兩個整數\(m\)和\(n\)使得

\[ \sqrt{2} = \frac{m}{n} \]

由於\(m\)和\(n\)互質，因此\(m\)和\(n\)不可能均爲偶數。如今用\(n\)乘以等式兩邊，獲得

\[ n\sqrt{2} = m \]

兩邊平方，獲得

\[ 2n^2 = m^2 \]

從而可知\(m^2\)是偶數，由於奇數的平方（\((2l+1)^2=4l^2 + 4l + 1\)）老是奇數，因此\(m\)爲偶數。因而，存在某個整數\(k\)使得\(m=2k\)，將其代入上式可得

\[ 2n^2 = (2k)^2 = 4k^2 \]

也即

\[ n^2 = 2k^2 \]

從而可知\(n\)爲偶數。因而\(m\)和\(n\)均爲偶數，這與前提矛盾。因此\(\sqrt{2}\)是無理數。