找數字

找一個數字

題目描述：從1-100中刪去任意一個數字，而後將剩下的99個數字打亂，獲得無序序列。如今須要用一種方法找到這個數字。

加法

這是最簡單的方法，將全部的數字求和，而後用減去就得到答案。

複雜度分析： 若是不算上保存99個數的空間，那麼該方法只須要的空間記錄求和，以及的時間遍歷序列。

桶排序

另一個容易想到的的方法，因爲數字連續而且數據規模小，因此只須要構建100個「桶」。從頭遍歷給定的99個數字，將其放入數值對應的「桶」中。最後從頭開始找這100個「桶」，哪一個桶空就說明缺乏了哪一個數字。

複雜度分析： 該方法須要用到的額外空間，以及的時間複雜度。

異或

對於任意整數n，有，根據這個性質，就能夠預先將1-100全部的整數異或，獲得「異或和」X，而後再將X和序列中的每個元素異或，最後獲得的答案就是被摳掉的數字。

複雜度分析： 和作加法相似，時間複雜度爲，空間複雜度爲，不過使用異或方法不須要考慮溢出的狀況。

分治法

假設被摳掉的數字是n，那麼n必定屬於1~50或51~100兩個區間。若是n屬於前一個區間，那麼n也必定屬於1~25或26~50兩個區間。這個過程能夠一直劃分，直到找到這個數字。

如今須要肯定這個數字是多少，那麼仍是相似的思想。若是被摳掉的數字屬於1~50，那麼小於等於50的數字只有49個。如今數一數有多少個落入1~50區間，不妨假設只有49，那麼又能夠繼續劃分爲計算1~25中有多少個數字的問題。這個過程能夠一直劃分，直到找到這個數字。

上面這個過程耗時最大的步驟就是統計區間的元素個數。一遍一遍掃描確定是不夠好的，能夠參考快速排序的元素劃分方式。

1. 初始化查找區間，一開始就是；
2. 選擇該區間的中值k，將集合中全部小於等於k的數字和大於k的數字分開，最後得到兩個子集合和；固然在作劃分的時候能夠順帶統計元素個數了；
3. 若是小於等於k的元素集合數量不足，那麼缺失的數字就包含於區間，不然就在另外一個區間；
4. 通過步驟二、3就縮小了查找區間爲原來的一半，對該區間重複步驟二、3，直到區間中只剩下一個元素，而區間對應的集合爲空的元素就是缺失的數字。

每次搜索的區間都會縮小一半，所以只須要通過步就能夠找到缺乏的元素。具體計算以下。用表示父查詢任務的時間複雜度，則有，當時，；的時間複雜度爲。

複雜度分析： 已經證實時間複雜度爲。空間複雜度。

找兩個數字

題目描述：從1-100中刪去任意兩個數字，而後將剩下的98個數字打亂，獲得無序序列。如今須要用一種方法找到這兩個數字。

桶排序

這個方法哪怕n爲其餘值也是可使用的，十分簡單再也不贅述。

方程組

此時簡單的差值求解不奏效了，只能求解獲得兩個數字的和。若是須要解出這兩個數字，那就須要用一個等式構成方程組。

可否使用異或的方式獲取一個等式構成方程組呢？即解方程組

要判斷是否可行，能夠列一下真值表：

		+
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	0

暫時先不考慮進位對結果的影響，也就是最低位的狀況。顯然最低位已經沒法根據加法值和異或值肯定結果了（第二、3行），因此這個方法是不行的。

而若是使用方程組

雖然理論可行，可是計算在程序上會致使溢出。

若是改用對數方程是否可行？

雖然可能存在精度的問題，可是仍是決定實驗一下。代碼以下，x和y的值能夠任意更換。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int x = 1, y = 2;
    int sum1 = 5050, sum2 = 0.0;
    double logsum1 = 0, logsum2 = 0.0;

    for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
        logsum1 += log(i);
    }
    for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
        if (i == x || i == y) continue;
        logsum2 += log(i);
        sum2 += i;
    }

    double x_plus_y = sum1 - sum2;
    double x_mult_y = exp(logsum1 - logsum2);

    cout << "x + y = " << x_plus_y << endl;
    cout << "x * y = " << x_mult_y << endl;
    return 0;
}
複製代碼

通過測驗，對於上面的代碼，使用double型變量能夠提供足夠的精度，一方面是double有52bits的有效數據位，足夠精細，另外一方面是因爲100之內數的對數值並不會相差很大，因此浮點數相加並不會丟失不少精度。一樣的代碼若是使用float存儲浮點結果，就會出現精度丟失的問題。

分治

分治法仍是能夠用來解決這個問題。仍是用以前的假設：查詢區間爲，中值爲k，左查詢區間爲，右查詢區間爲。

不管缺失的兩個數字取自哪一個子查詢區間，區間對應元素集合就會缺乏數字，那麼就將父查詢任務轉化爲有數字缺乏的區間的子查詢任務。最差狀況下，缺失的兩個數字分別屬於兩個子查詢區間。

借鑑「找一個數字」中分治法的符號表示，有，當時，；的時間複雜度爲。

求解遞推式：

複雜度分析： ，所以找兩個數字的時間複雜度爲；空間複雜度仍是

異或

雖然加法方程和異或方程聯立沒法解得結果，可是異或結果仍是說明了x和y數位上的特色。

從異或結果中看看從1-8中摳掉2個數字，求摳掉的兩個數字。

十進制	二進制
1	0001
2	0010
3（摳掉）	0011
4	0100
5	0101
6（摳掉）	0110
7	0111
8	1000

令x=3，y=6，則異或結果爲0101，代表第1位（從低到高）和第3位不同。若是按照第1位是否1將原來的數字分紅兩組，實際上就是將找兩個數的問題轉化爲找1個數的問題。

複雜度分析 和找1數字的時候同樣，時間複雜度爲，空間複雜度爲

更多數字？

若是如今問題變成了：從1-100中刪去任意n個數字，而後將剩下的100-n個數字打亂，獲得無序序列。如今須要用一種方法找到這n個數字。

桶排序

依然可用。

分治法

可使用，可是當n較大的時候，實際上就退化成對數字排序的問題。花在遞歸函數調用上的時間影響較大。

異或

策略是不斷使用比特的特徵將找n個數的問題轉化爲找n-1個數的問題。只不太重複循環的時間複雜度就比較高。