題解【CF1324D Pair of Topics】

\[ \texttt{Description} \]

給兩個長度爲 \(n\) 的序列 \(a\) 和 \(b\) ，求知足 \(a_i+a_j>b_i+b_j \ (i<j)\) 的數對個數。

\[ \texttt{Solution} \]

• 首先注意到這個式子左右兩邊同時出現了 \(i,j\) ，也就是說式子兩邊不是互相獨立的。

• 嗯，天然地想到了移項大法，式子能夠化爲 \(a_i-b_i>b_j-a_j \ (i<j)\) 。式子的一邊爲 \(i\) ，一邊爲 \(j\) ，就使得式子兩邊互相獨立。

• 咱們發現這個偏序問題簡直不要太好作，有不少的方法能夠解決這個偏序問題，這裏介紹一種 動態開點權值線段樹 的作法。

• 倒序掃描，從 \(n\) 掃到 $1$ 。

  1. 將權值線段樹中值域在 \([-\inf,a_i-b_i-1]\) 的數的個數計入答案中。
  2. 在權值線段樹中令 \(b_i-a_i\) 的個數加一。

• 時間複雜度 \(\mathcal{O(n \log n)}\) ，空間複雜度 \(O(n \log size)\) ，若是離散化一下能夠作到 \(O(n \log n)\) 。

\[ \texttt{Code} \]

#include<cstdio>

#define RI register int

using namespace std;

namespace IO
{
    static char buf[1<<20],*fs,*ft;
    inline char gc()
    {
        if(fs==ft)
        {
			ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin);
			if(fs==ft)return EOF;
        }
        return *fs++;
    }
    #define gc() getchar()
	inline int read()
	{
		int x=0,f=1;char s=gc();
		while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=gc();}
		while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=gc();}
		return x*f;
	}
}using IO::read;

const int N=200100,MLOGN=10001000;

int n;

int a[N],b[N];

const int INF=2e9;

int tot,root;
struct SegmentTree{
	int lc,rc;
	int cnt;
}t[MLOGN];

int New()
{
	tot++;
	t[tot].lc=t[tot].rc=t[tot].cnt=0;
	return tot;
}

void insert(int &p,int l,int r,int delta,int val)
{
	if(!p)
		p=New();
	t[p].cnt+=val;
	if(l==r)return;
	int mid=(long long)(l+r)>>1;
	if(delta<=mid)
		insert(t[p].lc,l,mid,delta,val);
	else
		insert(t[p].rc,mid+1,r,delta,val); 
}

int ask(int p,int l,int r,int s,int e)
{
	if(!p)
		return 0;
	if(s<=l&&r<=e)
		return t[p].cnt;
	int mid=(long long)(l+r)>>1;
	int val=0;
	if(s<=mid)
		val+=ask(t[p].lc,l,mid,s,e);
	if(mid<e)
		val+=ask(t[p].rc,mid+1,r,s,e);
	return val;
}

long long ans;

int main()
{
	n=read();

	for(RI i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();

	for(RI i=1;i<=n;i++)
		b[i]=read();

	for(RI i=n;i>=1;i--)
	{
		ans+=ask(root,-INF,INF,-INF,a[i]-b[i]-1);
		insert(root,-INF,INF,b[i]-a[i],1);
	}

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}

\[ \texttt{Thanks} \ \texttt{for} \ \texttt{watching} \]