如何尋找缺失的元素

讀完本文，你能夠去力扣拿下以下題目：

448.找到全部數組中消失的數字

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以前也有文章寫過幾個有趣的智力題，今天再聊一道巧妙的題目。

題目很是簡單：

給一個長度爲 n 的數組，其索引應該在 [0,n)，可是如今你要裝進去 n + 1 個元素 [0,n]，那麼確定有一個元素裝不下嘛，請你找出這個缺失的元素。

這道題不難的，咱們應該很容易想到，把這個數組排個序，而後遍歷一遍，不就很容易找到缺失的那個元素了嗎？

或者說，藉助數據結構的特性，用一個 HashSet 把數組裏出現的數字都儲存下來，再遍歷 [0,n] 之間的數字，去 HashSet 中查詢，也能夠很容易查出那個缺失的元素。

排序解法的時間複雜度是 O(NlogN)，HashSet 的解法時間複雜度是 O(N)，可是還須要 O(N) 的空間複雜度存儲 HashSet。

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第三種方法是位運算。

對於異或運算（^），咱們知道它有一個特殊性質：一個數和它自己作異或運算結果爲 0，一個數和 0 作異或運算仍是它自己。

並且異或運算知足交換律和結合律，也就是說：

2 ^ 3 ^ 2 = 3 ^ (2 ^ 2) = 3 ^ 0 = 3

而這道題索就能夠經過這些性質巧妙算出缺失的那個元素。好比說 nums = [0,3,1,4]：

爲了容易理解，咱們假設先把索引補一位，而後讓每一個元素和本身相等的索引相對應：

這樣作了以後，就能夠發現除了缺失元素以外，全部的索引和元素都組成一對兒了，如今若是把這個落單的索引 2 找出來，也就找到了缺失的那個元素。

如何找這個落單的數字呢，只要把全部的元素和索引作異或運算，成對兒的數字都會消爲 0，只有這個落單的元素會剩下，也就達到了咱們的目的。

int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int res = 0;
    // 先和新補的索引異或一下
    res ^= n;
    // 和其餘的元素、索引作異或
    for (int i = 0; i < n; i++)
        res ^= i ^ nums[i];
    return res;
}

因爲異或運算知足交換律和結合律，因此老是能把成對兒的數字消去，留下缺失的那個元素的。

至此，時間複雜度 O(N)，空間複雜度 O(1)，已經達到了最優，咱們是否就應該打道回府了呢？

若是這樣想，說明咱們受算法的毒害太深，隨着咱們學習的知識愈來愈多，反而容易陷入思惟定式，這個問題其實還有一個特別簡單的解法：等差數列求和公式。

題目的意思能夠這樣理解：如今有個等差數列 0, 1, 2,..., n，其中少了某一個數字，請你把它找出來。那這個數字不就是 sum(0,1,..n) - sum(nums) 嘛？

int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    // 公式：(首項 + 末項) * 項數 / 2
    int expect = (0 + n) * (n + 1) / 2;

    int sum = 0;
    for (int x : nums) 
        sum += x;
    return expect - sum;

你看，這種解法應該是最簡單的，但說實話，我本身也沒想到這個解法，並且我去問了幾個大佬，他們也沒想到這個最簡單的思路。相反，若是去問一個初中生，他也許很快就能想到。

作到這一步了，咱們是否就應該打道回府了呢？

若是這樣想，說明咱們對細節的把控還差點火候。在用求和公式計算 expect 時，你考慮過整型溢出嗎？若是相乘的結果太大致使溢出，那麼結果確定是錯誤的。

PS：我認真寫了 100 多篇原創，手把手刷 200 道力扣題目，所有發佈在 labuladong的算法小抄，持續更新。建議收藏，按照個人文章順序刷題，掌握各類算法套路後投再入題海就如魚得水了。

剛纔咱們的思路是把兩個和都加出來而後相減，爲了不溢出，乾脆一邊求和一邊減算了。很相似剛纔位運算解法的思路，仍然假設 nums = [0,3,1,4]，先補一位索引再讓元素跟索引配對：

咱們讓每一個索引減去其對應的元素，再把相減的結果加起來，不就是那個缺失的元素嗎？

public int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int res = 0;
    // 新補的索引
    res += n - 0;
    // 剩下索引和元素的差加起來
    for (int i = 0; i < n; i++) 
        res += i - nums[i];
    return res;
}

因爲加減法知足交換律和結合律，因此老是能把成對兒的數字消去，留下缺失的那個元素的。

至此這道算法題目經歷九曲十八彎，終於再也沒有什麼坑了。

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