史上最詳細的二叉樹、B樹，看不懂怨我

今天咱們要說的紅黑樹就是就是一棵非嚴格均衡的二叉樹，均衡二叉樹又是在二叉搜索樹的基礎上增長了自動維持平衡的性質，插入、搜索、刪除的效率都比較高。紅黑樹也是實現 TreeMap 存儲結構的基石。

1.二叉搜索樹

二叉搜索樹又叫二叉查找樹、二叉排序樹，咱們先看一下典型的二叉搜索樹，這樣的二叉樹有何規則特色呢？

二叉搜索樹有以下幾個特色：

• 節點的左子樹小於節點自己
• 節點的右子樹大於節點自己
• 左右子樹一樣爲二叉搜索樹

下圖就是一棵典型的二叉搜索樹：

在這裏插入圖片描述
二叉搜索樹是均衡二叉樹的基礎，咱們看一下它的搜索步驟如何。咱們要從二叉樹中找到值爲 58 的節點。

 

第一步：首先查找到根節點，值爲 60 的節點。

在這裏插入圖片描述
第二步：比較咱們要找的值 58 與該節點的大小。

 

若是等於，那麼恭喜，已經找到；若是小於，繼續找左子樹；若是大於，那麼找右子樹。

很明顯 58<60，所以咱們找到左子樹的節點 56，此時咱們已經定位到了節點 56。

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第三步：按照第二步的規則繼續找。

58>56 咱們須要繼續找右子樹，定位到了右子樹節點 58，恭喜，此時咱們已經找到了。

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咱們通過三步就已經找到了，其實就是咱們平時所說的二分查找，這種二叉搜索樹好像查找效率很高，但一樣它也有缺陷，以下面這樣的二叉搜索樹。

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看到這樣的二叉搜索樹是否很彆扭，典型的大長腿瘸子，但它也是二叉搜索樹，若是咱們要找值爲 50 的節點，基本上和單鏈表查詢沒多大區別了，性能將大打折扣。

這個時候咱們的均衡二叉樹就粉墨登場了，均衡二叉樹就是在二叉搜索樹的基礎上添加了自動維持平衡的性質。

上面的大長腿瘸子二叉搜索樹通過自動平衡後，可能就成爲了下面這樣的二叉樹。

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通過了自動平衡，再去找值爲 50 的節點，查找性能將提高不少。紅黑樹就是非嚴格均衡的二叉搜索樹。

2.紅黑樹規則特色

紅黑樹具體有哪些規則特色呢？具體以下：

**1. 節點分爲紅色或者黑色。

1. 根節點必爲黑色。
2. 葉子節點都爲黑色，且爲 null。
3. 鏈接紅色節點的兩個子節點都爲黑色（紅黑樹不會出現相鄰的紅色節點）。
4. 從任意節點出發，到其每一個葉子節點的路徑中包含相同數量的黑色節點。
5. 新加入到紅黑樹的節點爲紅色節點。**

規則看着好像挺多，沒錯，由於紅黑樹也是均衡二叉樹，須要具有自動維持平衡的性質，上面的 6 條就是紅黑樹給出的自動維持平衡所須要具有的規則。

咱們看一看一個典型的紅黑樹究竟是什麼樣兒？

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首先解讀一下規則，除了字面上看到的意思，還隱藏了哪些意思呢？

①從根節點到葉子節點的最長路徑不大於最短路徑的 2 倍

怎麼樣的路徑算最短路徑？從規則 5 中，咱們知道從根節點到每一個葉子節點的黑色節點數量是同樣的，那麼純由黑色節點組成的路徑就是最短路徑。

什麼樣的路徑算是最長路徑？根據規則 4 和規則 3，如有紅色節點，則必然有一個鏈接的黑色節點，當紅色節點和黑色節點數量相同時，就是最長路徑，也就是黑色節點（或紅色節點）*2。

②爲何說新加入到紅黑樹中的節點爲紅色節點

從規則 4 中知道，當前紅黑樹中從根節點到每一個葉子節點的黑色節點數量是同樣的，此時假如新的是黑色節點的話，必然破壞規則。

但加入紅色節點卻不必定，除非其父節點就是紅色節點，所以加入紅色節點，破壞規則的可能性小一些，下面咱們也會舉例來講明。

什麼狀況下，紅黑樹的結構會被破壞呢？破壞後又怎麼維持平衡，維持平衡主要經過兩種方式【變色】和【旋轉】，【旋轉】又分【左旋】和【右旋】，兩種方式可相互結合。

下面咱們從插入和刪除兩種場景來舉例說明。

3.紅黑樹節點插入

當咱們插入值爲 66 的節點時，紅黑樹變成了這樣：

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很明顯，這個時候結構依然遵循着上述 6 大規則，無需啓動自動平衡機制調整節點平衡狀態。

若是再向裏面插入值爲 51 的節點，這個時候紅黑樹變成了這樣：

在這裏插入圖片描述

很明顯如今的結構不遵循規則 4 了，這個時候就須要啓動自動平衡機制調整節點平衡狀態。

4.變色

咱們能夠經過變色的方式，使結構知足紅黑樹的規則：

**1. 首先解決結構不遵循規則 4 這一點（紅色節點相連，節點 49-51），需將節點 49 改成黑色。

1. 此時咱們發現又違反了規則 5（56-49-51-XX 路徑中黑色節點超過了其餘路徑），那麼咱們將節點 45 改成紅色節點。
2. 哈哈，妹的，又違反了規則 4（紅色節點相連，節點 56-45-43），那麼咱們將節點 56 和節點 43 改成黑色節點。
3. 可是咱們發現此時又違反了規則 5（60-56-XX 路徑的黑色節點比 60-68-XX 的黑色節點多），所以咱們須要調整節點 68
   爲黑色。
4. 完成！**

最終調整完成後的樹爲：

在這裏插入圖片描述

但並非何時都那麼幸運，能夠直接經過變色就達成目的，大多數時候還須要經過旋轉來解決。

如在下面這棵樹的基礎上，加入節點 65：

在這裏插入圖片描述

插入節點 65 後進行如下步驟：

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這個時候，你會發現對於節點 64 不管是紅色節點仍是黑色節點，都會違反規則 5，路徑中的黑色節點始終沒法達成一致，這個時候僅經過【變色】已經沒法達成目的。

咱們須要經過旋轉操做，固然【旋轉】操做通常還須要搭配【變色】操做。旋轉包括【左旋】和【右旋】。

左旋：逆時針旋轉兩個節點，讓一個節點被其右子節點取代，而該節點成爲右子節點的左子節點。

左旋操做步驟以下：首先斷開節點 PL 與右子節點 G 的關係，同時將其右子節點的引用指向節點 C2；而後斷開節點 G 與左子節點 C2 的關係，同時將 G 的左子節點的應用指向節點 PL。

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右旋：順時針旋轉兩個節點，讓一個節點被其左子節點取代，而該節點成爲左子節點的右子節點。

右旋操做步驟以下：首先斷開節點 G 與左子節點 PL 的關係，同時將其左子節點的引用指向節點 C2；而後斷開節點 PL 與右子節點 C2 的關係，同時將 PL 的右子節點的應用指向節點 G。

沒法經過變色而進行旋轉的場景分爲如下四種：

左左節點旋轉

這種狀況下，父節點和插入的節點都是左節點，以下圖(旋轉原始圖1)這種狀況下，咱們要插入節點 65。

規則以下：以祖父節點【右旋】，搭配【變色】。

在這裏插入圖片描述

按照規則，步驟以下：

在這裏插入圖片描述

左右節點旋轉

這種狀況下，父節點是左節點，插入的節點是右節點，在旋轉原始圖 1 中，咱們要插入節點 67。

規則以下：先父節點【左旋】，而後祖父節點【右旋】，搭配【變色】。

按照規則，步驟以下：

在這裏插入圖片描述

右左節點旋轉

這種狀況下，父節點是右節點，插入的節點是左節點，以下圖（旋轉原始圖 2）這種狀況，咱們要插入節點 68。

規則以下：先父節點【右旋】，而後祖父節點【左旋】，搭配【變色】。

在這裏插入圖片描述

按照規則，步驟以下：

在這裏插入圖片描述

右右節點旋轉

這種狀況下，父節點和插入的節點都是右節點，在旋轉原始圖 2 中，咱們要插入節點 70。

規則以下：以祖父節點【左旋】，搭配【變色】。

按照規則，步驟以下：

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紅黑樹插入總結

紅黑樹插入總結:

在這裏插入圖片描述

紅黑樹節點刪除

相比較於紅黑樹的節點插入，刪除節點更爲複雜，咱們從子節點是否爲 null 和紅色爲思考維度來討論。

子節點至少有一個爲 null

當待刪除的節點的子節點至少有一個爲 null 節點時，刪除了該節點後，將其有值的節點取代當前節點便可。

若都爲 null，則將當前節點設置爲 null，固然若是違反規則了，則按需調整，如【變色】以及【旋轉】。

在這裏插入圖片描述

子節點都是非 null 節點

這種狀況下，第一步：找到該節點的前驅或者後繼。

前驅：左子樹中值最大的節點（可得出其最多隻有一個非 null 子節點，可能都爲 null）。

後繼：右子樹中值最小的節點（可得出其最多隻有一個非 null 子節點，可能都爲 null）。

前驅和後繼都是值最接近該節點值的節點，相似於該節點.prev=前驅，該節點.next=後繼。

第二步：將前驅或者後繼的值複製到該節點中，而後刪掉前驅或者後繼。

若是刪除的是左節點，則將前驅的值複製到該節點中，而後刪除前驅；若是刪除的是右節點，則將後繼的值複製到該節點中，而後刪除後繼。

這至關因而一種「取巧」的方法，咱們刪除節點的目的是使該節點的值在紅黑樹上不存在。

所以專一於該目的，咱們並不關注刪除節點時是否真是咱們想刪除的那個節點，同時咱們也不需考慮樹結構的變化，由於樹的結構自己就會由於自動平衡機制而常常進行調整。

前面咱們已經說了，咱們要刪除的其實是前驅或者後繼，所以咱們就之前驅爲主線來說解。

後繼的學習可參考前驅，包括下面幾種狀況：

①前驅爲黑色節點，而且有一個非 null 子節點

在這裏插入圖片描述

分析：由於要刪除的是左節點 64，找到該節點的前驅 63；而後用前驅的值 63替換待刪除節點的值 64，此時兩個節點（待刪除節點和前驅）的值都爲 63；

刪除前驅 63，此時成爲上圖過程當中間環節，但咱們發現其不符合紅黑樹規則 4，所以須要進行自動平衡調整。這裏直接經過【變色】便可完成。

②前驅爲黑色節點，同時子節點都爲 null

在這裏插入圖片描述

分析：由於要刪除的是左節點 64，找到該節點的前驅 63；而後用前驅的值 63 替換待刪除節點的值 64，此時兩個節點（待刪除節點和前驅）的值都爲 63。

刪除前驅 63，此時成爲上圖過程當中間環節，但咱們發現其不符合紅黑樹規則 5，所以須要進行自動平衡調整。這裏直接經過【變色】便可完成。

③前驅爲紅色節點，同時子節點都爲 null

在這裏插入圖片描述

分析：由於要刪除的是左節點 64，找到該節點的前驅 63；而後用前驅的值 63替換待刪除節點的值 64，此時兩個節點（待刪除節點和前驅）的值都爲 63；刪除前驅 63，樹的結構並無打破規則。

紅黑樹刪除總結

紅黑樹刪除的狀況比較多，但也就存在如下狀況：

1. 刪除的是根節點，則直接將根節點置爲 null。
2. 待刪除節點的左右子節點都爲 null，刪除時將該節點置爲 null。
3. 待刪除節點的左右子節點有一個有值，則用有值的節點替換該節點便可。
4. 待刪除節點的左右子節點都不爲 null，則找前驅或者後繼，將前驅或者後繼的值複製到該節點中，而後刪除前驅或者後繼。
5. 節點刪除後可能會形成紅黑樹的不平衡，這時咱們需經過【變色】+【旋轉】的方式來調整，使之平衡，上面也給出了例子，建議你們多多練習，而沒必要背下來。

總結

本文主要介紹了紅黑樹的相關原理，首先紅黑樹的基礎二叉搜索樹，咱們先簡單說了一下二叉搜索樹，而且講了一下搜索的流程。

而後就針對紅黑樹的六大規則特色，紅黑樹的插入操做，刪除操做，都使用了大量的圖形來加以說明。

技術都是練出來的，有時候不少似是而非的地方，當動筆去寫的時候，其實很好理解。

紅黑樹的使用很是普遍，如 TreeMap 和 TreeSet 都是基於紅黑樹實現的，而 JDK8 中 HashMap 當鏈表長度大於 8 時也會轉化爲紅黑樹。

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