KMP算法的next函數求解和分析過程

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wang0606120221：http://blog.csdn.net/wang0606120221/article/details/7402688

 

 

假設KMP算法中的模式串爲P，主串爲S，那麼該算法中的核心是計算出模式串的P的next函數。

KMP算法是在已知的模式串的next函數值的基礎上進行匹配的。

因爲本次只討論next的求值過程，所以KMP算法的數學推理過程這裏再也不講解。

從KMP算法的數學推理可知，此next函數只取決與模式匹配串自身的特色和主串沒有任何關係，此函數

默認認爲next[1]=0，因爲next[j]=k表示的意義是當模式串和主串的第j個字符不匹配時，那麼接下來和主串的第j個

字符匹配的字符是模式串的第k個字符。所以，next[1]=0表示當主串的當前字符和模式串的第1個字符不匹配，接

下來須要用模式串的第0個字符和主串的當前字符匹配，因爲模式串下標是從1開始的，因此不可能存在第0個字符，

即接下的匹配動做是主串和模式串同時向右移動一位，繼續模式匹配。

例如：主串：a c a b a a b a a b n a c

       模式串：a b a a b

          主串：a c a b a a b a a b n a c

      模式串：   a b a a b

          主串：a c a b a a b a a b n a c

      模式串：      a b a a b

此時，主串和模式串不匹配，而next[1]=0，所以，模式串的第0個字符和主串的第2個字符比較，而模式串沒有第0個

字符，此時能夠把第0個字符理解爲空字符，即模式串向右移動一位，主串再繼續喝模式串匹配，而此時的主串的當

前字符是第3個字符，總體來看是當主串和模式串的第1個字符不匹配時，主串和模式串同時右移一位，而後繼續匹配。

接下來說解通常狀況下的next函數值求解過程。

設next[j]=k，根據KMP算法的模式串的特色可知，‘p1p2......pk-1’=‘pj-k+1......pj-1’，其中k必須知足1<k<j，而且不可能存在k‘>k知足上面等式。那麼可以根據next[j]=k計算出next[j+1]的值嗎？顯然是可以計算出來的，否則我也不廢話了，呵呵。

 

下面討論具體求解過程：

當知道next[j]=k的值，求next[j+1]的值時候有兩種狀況，一種是pk=pj，另外一種狀況是pk!=pj。

1.當pk=pj時，那麼能夠得出在模式串中存在‘p1......pk’=‘pj-k+1......pj’子串等式。而且不可能存在k‘>k，知足

"p1......pk’ "=" pj-k’+1......pj "等式（該等式中用的是雙引號，只是爲了區別外邊字符串的引號和內部k‘的引號，沒有其它意圖，特此說明），由於根據KMP算法的說明k是最大的。

所以，顯而易見next[j+1]=k+1=next[j]+1。該式表示當主串的當前字符和模式串的第j+1個字符不匹配時，須要使用模式串的第k+1個字符和當前主串字符比較匹配，即主串的當前字符不變，變的只是模式串的字符，能夠理解爲模式串向右移動j+1-（k+1）=j-k個字符。

2.當pk!=pj時，可知在模式串中不存在‘p1......pk’=‘pj-k+1......pj’等式。代表不能簡單的用模式串的第k+1個字符和主串比較，由於pk!=pj，此時須要把模式串向右移動更多的位數，直到找出模式串的前m個字符和主串中的m個字符匹配爲止或者沒有找到這樣的子串，那麼意味着模式串須要從第1個字符開始和主串重新匹配。

 

          主串：a c a b a a c a b a a b a a b n a c

      模式串：      a b a a b

          主串：a c a b a a c a b a a b a a b n a c

      模式串：            a b a a b

在此首先給出了next函數的數值，爲了方便說明當pk!=pj時，使用pk=pj的方法是不對的。

next[1]=0，next[2]=1，next[3]=1，next[4]=2，next[5]=2.

此時，i=7，j=5，而s[7]!=t[5]，若是簡單按照pk=pj時候的方法，用第k+1=2+1=3個字符和主串的第7個字符比較時，顯然不行，由於s[6]=a!=b=t[2]。前面子串都不匹配，那麼匹配後面的字符顯然是笑話。說明此時模式串須要向右移動更多的位數，知道找到合適的字符或者沒有找到，須要從第1個字符從新和主串匹配。

 

由於已經知道next[j]=k，所以可知模式串中p1=pj-k+1，p2=pj-k+2，......，pk-1=pj-1，則此時應該將模式串繼續向右移動直到第m+1個字符，該字符知足’p1......pm‘=’pj-m+1......pj‘，（1<m<k<j）而且不存在m’>m也知足該等式。此時就可使用第m+1個字符和當前主串字符比較匹配，（假設當前主串的字符索引是i+1）

此時主串中必存在關係式‘si-m+1......si’=‘pj-m+1......pj’=‘p1......pm’，所以用模式串的第m+1個字符和當前主串字符比較匹配是正確的。此時next[j+1]=m+1=next[......next[next[k]]]+1。

 

這裏m=next[......next[next[k]]]，這裏解釋一下m=next[......next[next[k]]]，因爲pk!=pj，所以須要向右移動模式串，

首先移動第next[k]個字符和第j個字符比較，假設next[k]=h，若是ph=pj，

則說明模式串中存在等式‘p1......ph’=‘p-h+1......pj’，（1<h<k<j）（假設主串中當前和模式串比較字符是第i+1個）則主串中必然存在‘si-h+1......si’=‘pj-h+1......pj’=‘p1......ph’等式（1<h<k<j）。也就是說next[j+1]=h+1。

                                                          即next[j+1]=next[k]+1。

同理，若是ph!=pj，則模式串還須要繼續向右移動，用第next[h]個字符和第j個字符比較，以此類推，直到第j個字符和模式串中的某個字符匹配成功或者不存在u（1<u<j）知足等式‘p1......pu’=‘pj-u+1......pj’。若是找到了匹配字符u，那麼

next[j+1]=u+1，不然next[j+1]=1。

下面舉例說明該過程：next函數值只與模式串自身的特色有關；

 模式串的索引：j   1 2 3 4 5 6 7 8

           模式串：     a b a a b c a c

           next值：      0 1 1 2 2 3 1 2

默認設置next[1]=0；

計算next[2]：由於p1......p2-1，不可能存在索引k，知足1<k<2，所以next[2]=1；

計算next[3]：由於p3-1=b！=a=p1，next[2]=1，而next[1]=0，因此不存在u，知足上述表達式，next[3]=1；

計算next[4]：next[3]=1，p4-1=a=p1，next[4]=next[3]+1=1+1=2；

計算next[5]：next[4]=2，p2=b，p5-1=a！=p2，pj=p4=a，next[2]=1，p1=a=pj，因此next[5]=next[2]+1=1+1=2；

計算next[6]：next[5]=2，p2=b，p6-1=b=p2，next[6]=next[5]+1=2+1=3；

計算next[7]：next[6]=3，p3=a，p7-1=c！=p3，pj=p6=c，next[3]=1，p1=a！=pj，next[1]=0，所以不存在u，因此，next[7]=1；

計算next[8]：next[7]=1，p1=a，p8-1=a=p1，next[8]=next[7]+1=1+1=2。

            

爲何當模式串第j個字符和主串不匹配時接着用第next[k]個字符直接和第j個字符比較，而不是用第j-1個字符和主串比較呢？

個人證實過程以下。

證實：由於前提條件是next[j]=k，那麼能夠得知’p1.......pk-1‘=’p-k+1......pj-1‘，而且k知足1<k<j和不存在h，1<k<h<j，知足上面等式，即‘p1......ph-1’=‘pj-h+1......pj-1’，即此時的k值是最大的。

假設此時主串索引爲i+1，模式串爲j+1，那麼‘p1......pj-1’=‘p2......pj’等式是確定不能成立的。由於若是該等式成立，那麼就會存在等式‘p1......pj-2’=‘p2......pj-1’成立，而根據next[j]=k的前提條件，咱們已經得出不存在h，1<k<h，知足等式‘p1......ph-1’=‘pj-h+1......pj-1’，而此時卻奇怪得出了存在j-1知足上面等式，和已知條件產生矛盾。

因此，next[k]和j之間的全部字符都是不能知足算法尋找的字符知足的等式的條件的。所以，若是pk!=pj，那麼接下來必須用從0到next[k]之間的字符和第j個字符比較匹配，因此本算法首先採用從第next[j]個字符和第j個字符比較匹配。

 

若是我證實的不對，還請大牛們把正確答案告訴我一下，讓我也獲得正確的證實過程。謝謝！

 

終上所述，next的函數表達式以下所示：

                                 0，j=1；

                   next[j]=  MAX{k | ‘p1......pk-1’=‘pj-k+1......pj-1’，1<k<j}，集合不爲空；

                                1，其餘狀況。

            

                假設next[j]=k。

                                 next[j]+1=k+1，pj=pk；

                next[j+1]=1，pk!=pj，不存在字符u，1<u<k，知足等式‘p1......pu’=‘pj-u+1......pj’；

                                 next[......next[next[k]]]+1，pk!=pj，找到了u，1<u<k，‘p1......pu’=‘pj-u+1......pj’。

本博客主要講的是如何按照地推的思想來計算出全部的next函數， 減小每次都掃描整個模式串計算next數值，經過遞歸算法能夠利用前面已經計算出的next[j]的數值能夠計算出next[j+1]，這樣能夠提升很多效率。 

 

KMP算法的求next數值函數代碼以下：其中綠色的行表明代碼，其它表明對每一行代碼的註釋。

void getNext(String p,int[] next)

{

     //next初始化next[1]=0，因爲須要計算最大k值，所以從第2個字符開始查找匹配子串，使得u知足1<u<j

     //’p1......pu-1‘=’pj-u+1......pj-1‘，本算法使用了兩個索引指針，i和j，而且初始化i=1，j=0。這裏爲了計算出next數        //值，主串和模式串都是使用的模式串數據。如

     //主串：    a b a a b c a c，i=1；

     //模式串：   a b a a b c a c，j=0.

      int i=1; next[1]=0; j=0;

   //線性掃描主串，主串不回朔，只能增長，而模式串可能會不斷的向右滑動，尋找字符u，使得pu=pj，求解                  //next[j+1]。

     while(i<=p.length)

      {

      //因爲模式串不存在第0個，所以j==0表明主串和模式串確定不匹配，此時，主串和模式串都必須增長1個索引，然       //後繼續匹配操做。此時j=0+1=1，next[i]=1和當主串和模式串的第0個字符比較得出的結果一致，即此時須要使用模式串的第1個字符和主串匹配比較。另外j==0條件還包含了一種狀況是在模式串中找不到字符u，使得pu=pj，此時next[j]都等於1。

      //p[i]=p[j]條件表示主串和模式串匹配，所以，主串和模式串都須要增長一個字符索引，假設此時主串索引爲i和模式串索引爲j，能夠得出，’p1......pj‘=’pi-j+1......pi‘，因爲i和j都要增長一個字符索引，此時主串爲i=i+1，模式串爲j=j+1，因此next[i]=j；

           if(j==0||p[i]==p[j]) {++i;++j;next[i]=j;}

    //當j!=0而且p[i]!=p[j]時，執行下面else代碼，該代碼表示此時模式串須要向右移動，即爲了使下一次while循環比較時候使用第next[j]個字符和主串中的第i個字符匹配比較。

           else j=next[j];

     }

  //當循環結束時候，next數組中存放的就是模式串的next初始化的所有數值。即噹噹前模式串中的字符和主串中的值不匹配時候，下一步須要使用哪個字符和主串中的當前字符比較匹配。

}