【經典算法】——KMP，深刻講解next數組的求解

前言　　

　　以前對kmp算法雖然瞭解它的原理，即求出P₀···P_i的最大相同先後綴長度k；可是問題在於如何求出這個最大先後綴長度呢？我以爲網上不少帖子都說的不是很清楚，總感受沒有把那層紙戳破，後來翻看算法導論，32章 字符串匹配雖然講到了對前後綴計算的正確性，可是大量的推理證實不大好理解，沒有與程序結合起來說。今天我在這裏講一講個人一些理解，但願你們多多指教，若是有不清楚的或錯誤的請給我留言。　

1.kmp算法的原理：

　　本部份內容轉自：http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/Knuth%E2%80%93Morris%E2%80%93Pratt_algorithm.html

　　

字符串匹配是計算機的基本任務之一。

舉例來講，有一個字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"，我想知道，裏面是否包含另外一個字符串"ABCDABD"？

許多算法能夠完成這個任務，Knuth-Morris-Pratt算法（簡稱KMP）是最經常使用的之一。它以三個發明者命名，起頭的那個K就是著名科學家Donald Knuth。

這種算法不太容易理解，網上有不少解釋，但讀起來都很費勁。直到讀到Jake Boxer的文章，我才真正理解這種算法。下面，我用本身的語言，試圖寫一篇比較好懂的KMP算法解釋。

1.

首先，字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一個字符與搜索詞"ABCDABD"的第一個字符，進行比較。由於B與A不匹配，因此搜索詞後移一位。

2.

由於B與A不匹配，搜索詞再日後移。

3.

就這樣，直到字符串有一個字符，與搜索詞的第一個字符相同爲止。

4.

接着比較字符串和搜索詞的下一個字符，仍是相同。

5.

直到字符串有一個字符，與搜索詞對應的字符不相同爲止。

6.

這時，最天然的反應是，將搜索詞整個後移一位，再從頭逐個比較。這樣作雖然可行，可是效率不好，由於你要把"搜索位置"移到已經比較過的位置，重比一遍。

7.

一個基本事實是，當空格與D不匹配時，你其實知道前面六個字符是"ABCDAB"。KMP算法的想法是，設法利用這個已知信息，不要把"搜索位置"移回已經比較過的位置，繼續把它向後移，這樣就提升了效率。

8.

怎麼作到這一點呢？能夠針對搜索詞，算出一張《部分匹配表》（Partial Match Table）。這張表是如何產生的，後面再介紹，這裏只要會用就能夠了。

9.

已知空格與D不匹配時，前面六個字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知，最後一個匹配字符B對應的"部分匹配值"爲2，所以按照下面的公式算出向後移動的位數：

　　移動位數 = 已匹配的字符數 - 對應的部分匹配值

由於 6 - 2 等於4，因此將搜索詞向後移動4位。

10.

由於空格與Ｃ不匹配，搜索詞還要繼續日後移。這時，已匹配的字符數爲2（"AB"），對應的"部分匹配值"爲0。因此，移動位數 = 2 - 0，結果爲 2，因而將搜索詞向後移2位。

11.

由於空格與A不匹配，繼續後移一位。

12.

逐位比較，直到發現C與D不匹配。因而，移動位數 = 6 - 2，繼續將搜索詞向後移動4位。

13.

逐位比較，直到搜索詞的最後一位，發現徹底匹配，因而搜索完成。若是還要繼續搜索（即找出所有匹配），移動位數 = 7 - 0，再將搜索詞向後移動7位，這裏就再也不重複了。

14.

下面介紹《部分匹配表》是如何產生的。

首先，要了解兩個概念："前綴"和"後綴"。 "前綴"指除了最後一個字符之外，一個字符串的所有頭部組合；"後綴"指除了第一個字符之外，一個字符串的所有尾部組合。

15.

"部分匹配值"就是"前綴"和"後綴"的最長的共有元素的長度。以"ABCDABD"爲例，

　　－　"A"的前綴和後綴都爲空集，共有元素的長度爲0；

　　－　"AB"的前綴爲[A]，後綴爲[B]，共有元素的長度爲0；

　　－　"ABC"的前綴爲[A, AB]，後綴爲[BC, C]，共有元素的長度0；

　　－　"ABCD"的前綴爲[A, AB, ABC]，後綴爲[BCD, CD, D]，共有元素的長度爲0；

　　－　"ABCDA"的前綴爲[A, AB, ABC, ABCD]，後綴爲[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素爲"A"，長度爲1；

　　－　"ABCDAB"的前綴爲[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，後綴爲[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素爲"AB"，長度爲2；

　　－　"ABCDABD"的前綴爲[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，後綴爲[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的長度爲0。

16.

"部分匹配"的實質是，有時候，字符串頭部和尾部會有重複。好比，"ABCDAB"之中有兩個"AB"，那麼它的"部分匹配值"就是2（"AB"的長度）。搜索詞移動的時候，第一個"AB"向後移動4位（字符串長度-部分匹配值），就能夠來到第二個"AB"的位置。

2.next數組的求解思路

　　經過上文徹底能夠對kmp算法的原理有個清晰的瞭解，那麼下一步就是編程實現了，其中最重要的就是如何根據待匹配的模版字符串求出對應每一位的最大相同先後綴的長度。我先給出個人代碼：

 1 void makeNext(const char P[],int next[])
 2 {
 3     int q,k;//q:模版字符串下標；k:最大先後綴長度
 4     int m = strlen(P);//模版字符串長度
 5     next[0] = 0;//模版字符串的第一個字符的最大先後綴長度爲0
 6     for (q = 1,k = 0; q < m; ++q)//for循環，從第二個字符開始，依次計算每個字符對應的next值
 7     {
 8         while(k > 0 && P[q] != P[k])//遞歸的求出P[0]···P[q]的最大的相同的先後綴長度k
 9             k = next[k-1];          //不理解不要緊看下面的分析，這個while循環是整段代碼的精髓所在，確實很差理解  
10         if (P[q] == P[k])//若是相等，那麼最大相同先後綴長度加1
11         {
12             k++;
13         }
14         next[q] = k;
15     }
16 } 

 　　如今我着重講解一下while循環所作的工做：

1. 　　已知前一步計算時最大相同的先後綴長度爲k（k>0），即P[0]···P[k-1]；
2. 　　此時比較第k項P[k]與P[q],如圖1所示
3. 　　若是P[K]等於P[q]，那麼很簡單跳出while循環;
4. 　　關鍵！關鍵有木有！關鍵若是不等呢？？？那麼咱們應該利用已經獲得的next[0]···next[k-1]來求P[0]···P[k-1]這個子串中最大相同先後綴，可能有同窗要問了——爲何要求P[0]···P[k-1]的最大相同先後綴呢？？？是啊！爲何呢？ 緣由在於P[k]已經和P[q]失配了，並且P[q-k] ··· P[q-1]又與P[0] ···P[k-1]相同，看來P[0]···P[k-1]這麼長的子串是用不了了，那麼我要找個一樣也是P[0]打頭、P[k-1]結尾的子串即P[0]···P[j-1](j==next[k-1])，看看它的下一項P[j]是否能和P[q]匹配。如圖2所示

 

 

附代碼：

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 void makeNext(const char P[],int next[])
 4 {
 5     int q,k;
 6     int m = strlen(P);
 7     next[0] = 0;
 8     for (q = 1,k = 0; q < m; ++q)
 9     {
10         while(k > 0 && P[q] != P[k])
11             k = next[k-1];
12         if (P[q] == P[k])
13         {
14             k++;
15         }
16         next[q] = k;
17     }
18 }
19 
20 int kmp(const char T[],const char P[],int next[])
21 {
22     int n,m;
23     int i,q;
24     n = strlen(T);
25     m = strlen(P);
26     makeNext(P,next);
27     for (i = 0,q = 0; i < n; ++i)
28     {
29         while(q > 0 && P[q] != T[i])
30             q = next[q-1];
31         if (P[q] == T[i])
32         {
33             q++;
34         }
35         if (q == m)
36         {
37             printf("Pattern occurs with shift:%d\n",(i-m+1));
38         }
39     }    
40 }
41 
42 int main()
43 {
44     int i;
45     int next[20]={0};
46     char T[] = "ababxbababcadfdsss";
47     char P[] = "abcdabd";
48     printf("%s\n",T);
49     printf("%s\n",P );
50     // makeNext(P,next);
51     kmp(T,P,next);
52     for (i = 0; i < strlen(P); ++i)
53     {
54         printf("%d ",next[i]);
55     }
56     printf("\n");
57 
58     return 0;
59 }

 

3.kmp的優化

待續。。。。