使用定義判斷函數的奇偶性

題目

判斷函數 \(f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\) 的奇偶性。

解析

本題用到的知識點

\(log_{a}(MN)=log_{a}M+log_{a}N\)

在 MATLAB (下面的代碼在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中測試經過) 中輸入以下代碼：

x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))

能夠繪製出 \(y=ln(x)\) 的圖像：

圖 1

有圖像能夠看到，天然對數 \(ln(x)\) 只在 \((0,+\infty)\) 的區間裏有定義，不符合對數函數或者偶數函數對於「定義域 \(X\) 關於原點對稱」的要求。不過題目中的函數能夠看做是一個符合函數，所以，咱們還須要結合 \(g(x)=x+\sqrt{1+x^{2}}\) 的定義域來肯定 \(f(x)\) 的定義域。

由於：

\(\sqrt{1+x^{2}}>\sqrt{x^{2}}>|x|>0\)

則：

當 \(x\in (-\infty,+\infty)\) 時 \(x+\sqrt{1+x^{2}} > 0\) 知足天然對數函數 \(ln(x)\) 對定義域的要求，並且，當 \(x=0\) 時，\(f(x)=ln(1)=0\), 也知足奇函數「當f(x)在原點處有定義時，f(0)=0」的要求。

到這裏，定義域的問題解決了，下面要解決的是函數是關於 \(y\) 軸對稱，仍是關於原點對稱的問題。

因爲：

\(f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\)

\(f(-x)=ln(-x+\sqrt{1+x^{2}})\)

則：

\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{1+x^{2}}+x)+ln(\sqrt{1+x^{2}}-x)=ln[(\sqrt{1+x^{2}}+x)(\sqrt{1+x^{2}}-x)]=ln(1+x^{2}-x^{2})=ln(1)=0\)

上面的運算結果符合奇函數的定義，所以，\(f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\) 是一個奇函數。

此外，使用 WolframAlpha 畫出的函數 \(f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\) 的圖像以下：

圖 2. 圖片來自 https://www.wolframalpha.com/

由圖像咱們也能夠看出這是一個奇函數。

EOF