數論之中國剩餘定理

歐幾里得算法是一種求解兩非負數最大公約數的過程，它本質上就是執行展轉相除法。

    int gcd(int a,int b)
    {
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }

可證實最終獲得的結果（設爲\(r_n\)）就是所求最大公約數：第一步證實\(r_n\)是兩數約束，第二步證實\(r_n\)可被兩數任意約數整除。

貝祖定理：對於不全爲 0 的天然數\(a,b\)，必然存在整數\(x,y\)（不惟一）知足等式\(ax+by=gcd(a, b)\)。使用擴展歐幾里得算法可以證實。進而可知，若\(a,b\)互素，那麼存在整數\(x,y\)知足等式\(ax+by=1\)。更進一步，若\(a,b\)互素，總能夠找到一個比\(b\)小的非負數\(x\)，使得\(ax=1(\bmod b)\)成立。

中國剩餘定理是從一個方程求解過程總結出的定理。

　　有同餘方程組：\(\left\{\begin{array}{l}{x \equiv a_{1}\left(\bmod m_{1}\right)} \\ {x \equiv a_{2}\left(\bmod m_{2}\right)} \\ {\cdots} \\ {x \equiv a_{k}\left(\bmod m_{k}\right)}\end{array}\right.\)，其中\(m_1, m_2, \cdots, m_k\)爲兩兩互素整數，求\(x\)的最小非負整數解。

求解：

1. 令\(M=\prod_{i=1}^{k} m_{i}\)，即\(M\)是全部\(m_i\)的最小公倍數；
2. 因爲\(m_i\)兩兩互素，因此\(\frac{M}{m_{i}}\)與\(m_i\)亦互素，根據上述貝祖定理推論，可有\(\frac{M}{m_{i}} t_{i} \equiv 1\left(\bmod m_{i}\right)\)；
3. 則有一個解爲\(x=\sum_{i=1}^{k} a_{i} \frac{M}{m_{i}} t_{i}\)，通解爲\(x+i * M(i \in Z)\)，特別的，最小非負整數解爲\((x \% M+M) \% M\)。

證實：

1. 由\(\frac{M}{m_{i}} t_{i} \equiv 1\left(\bmod m_{i}\right)\)兩邊同乘\(a_i\)得：\(a_i\frac{M}{m_{i}} t_{i} \equiv a_i\left(\bmod m_{i}\right)\)；
2. 又\(\forall k \downarrow=i, a_{i} \frac{M}{m_{i}} t_{i} \equiv 0\left(\bmod m_{k}\right)\)；
3. 將兩式代入原方程，易得[其中一解]\(x=\sum_{i=1}^{k} a_{i} \frac{M}{m_{i}} t_{i}\)。

推論：基於上述同餘方程組，對於不一樣的\(\left(a_{1}, a_{2} \dots, a_{k}\right)\)集合，\(0 \leqslant x_{最小非負值} \leqslant M\)取值亦各不相同，此一一對應關係可用於推導歐拉函數。

 

參考資料：

展轉相除法的原理

POJ1006: 中國剩餘定理的完美演繹

中國剩餘定理 && 擴展中國剩餘定理

 

 

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