算法題我的思路總結

時間 2019-12-13

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數學

1.設A與C是互質的兩個數，求B，使得A*B=1(mod C)。算法

解：因爲gcd(A,C)=1，所以利用擴展歐幾里德函數能夠找到a*A+c*C=1，即a*A=1(mod C)。咱們取B=a便可。數組

2.求$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}$的上下界。數據結構

解：$\ln \left( n+1 \right) = \int_1^{n+1}{\frac{1}{x}dx}\le \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}\le 1+\int_1^n{\frac{1}{x}dx}=1+\ln \left( n \right) $。函數

3.求形如$\sum_{i=1}^n{i^{\alpha}}$的上下界，其中α>=0。對象

解：$1+\frac{1}{\alpha +1}\left( n^{\alpha +1}-1 \right) =1+\int_1^n{x^{\alpha}dx}\le \sum_{i=1}^n{i^{\alpha}}\le \int_1^{n+1}{x^{\alpha}dx}=\frac{1}{\alpha +1}\left( \left( n+1 \right) ^{\alpha +1}-1 \right) $。排序

4.對於全部i<=L，求全部i的素因子。內存

解：利用歐拉篩，每次都只會處理一次合數，處理的時候將所用到的素數填入。時間複雜度爲O(L)。字符串

5.因子數目最多的數。數學

解：<=1e1, 6, 4hash

　　<=1e2,60,12

　　<=1e3,840,32

　　<=1e4,7560,64

　　<=1e5,83160,128

　　<=1e6,720720,240

　　<=1e7,8648640,448

　　<=1e8,73513440,768

6.對多項式進行卷積。

解：快速傅立葉變換。

7.求a/b向上取整

解：(a+b-1)/b。

8.對浮點數f進行四捨五入

解：(int)(f + 0.5)

9.取整數i的二進制最後一位。

解：i&-i。

數據結構

1.要求大批量查詢區間最大值最小值。

解：1.若是區間不會被修改，則使用ST算法在長度爲n的區間上以時空複雜度O(nlog2n)作預處理，並以O(1)時間複雜度作查詢。

　　2.若是區間會被修改，則使用線段樹進行處理。

2.在一株樹上統計路徑信息。

解：使用LCT，全部操做時間複雜度均爲O(log2n)。

3.數據範圍較大，但實際數據較少。

解：離散處理。

4.要求屢次處理樹上差分，每一個結點對應一組值。

解：樹上每一個結點對應一個持久化線段樹，而且子結點的持久化線段樹在父結點的持久化線段樹上建立。

5.給定n大小不變區間，區間值最大值爲M，m次查詢區間第k小。

解：將區間視爲一株樹，下標i對應i+1的父結點，問題至關於在樹上作差分。查詢區間[l,r]上第k小，等價於查詢持久化線段樹r與持久化線段樹l-1的差分對應的線段樹上第k小元素。時間複雜度爲O((n+m)log2(M))。

6.給定一株含n個結點的樹，m次查詢lca。

解：1.先利用dfs將樹壓成區間，以後利用st處理區間最小值和最大值。時間複雜度爲O(2nlog2(n)+m)。

　　2.若是容許離線處理，則利用tarjan算法能夠在O(n+m)時間複雜度內求出。

7.給定長度爲n的區間A，m次詢問求子區間值的加總。

解：1.若是區間不會被修改，那麼能夠用差分，建立新的數組s，其中s[i]=A[0]+...+A[i]，則A[i]+...+A[j]=s[j]-s[i-1]。時間複雜度爲O(n+m)。

　　2.若是區間會被修改，可使用線段樹。時間複雜度爲O(n+mlog2n)。

8.給定長度爲n的數組，給定m個請求，每一個請求要求查詢一段區間中不一樣的值的數目。

解：莫隊算法，暴力得AC，時間複雜度爲O(n+n√m)。

9.給定一株樹，每一個結點對應一個值。求某個結點做爲根的子樹下不一樣的值的數目。

解：樹上莫隊，將樹經過dfs壓成數組，子樹表明的是一段連續區間，以後莫隊。

動態規劃

1.dp[i+1]=f(dp[i])，其中f是線性函數，求dp[k]，k很大。

解：將f表示爲矩陣，以後對矩陣作快速冪乘求f^k，最後應用於dp[0]，則dp[k]=f^k(dp[0])。時間複雜度爲O(n^3*log2(k))，n爲矩陣大小（dp[i]的維度）。

字符串

1.給定長度爲n的字符串，m次判斷兩個子串是否相同。

解：在字符串上進行hash處理，以後以O(1)實際複雜度取子串哈希值並進行比較。實際複雜度爲O(n+m)。注意要當心生日悖論，若是哈希範圍爲k，則只須要sqrt(k)個不一樣子串就有1/2以上的機率使得存在兩個子串擁有相同哈希值，這時候能夠屢次進行哈希，從而提升k的範圍。

2.判斷長度爲n的字符串中最長迴文。

解：1.哈希：利用哈希能夠在O(1)時間複雜度內判斷某個子串是否爲迴文，若是以i爲左邊界的最長迴文爲s[i,j]，則以i+1爲左邊界的最長迴文至少爲s[i-1,j-1]，所以判斷總次數爲2*n。

　　2.manacher算法，時空複雜度爲O(n)。

　　3.迴文樹，時空複雜度爲O(n*α)，α爲字符集大小。

3.判斷長度爲n與m的字符串a與b的最長相同子串。

解：後綴自動機。

幾何

1.平面上n個矩形，求被這些矩形覆蓋的面積。

解：先對矩形按照矩形底部y座標進行從小到大排序。以後用掃描線算法從左到右掃描矩形左右邊界。總的時間複雜度爲O(n^2)。

2.給定三個非共線點，計算三角形面積。

解：設三點爲A，B，C，則求向量AB與AC以後計算|ABxAC|/2即爲三角形面積，其中x表示外積。

3.給定向量a，b，判斷b與a的關係。

解：計算axb，若爲正數，則表示b在a的逆時針方向，若爲負數，則b在a的順時針方向，不然a與b共線。

4.給定三角形ABC，和一個點p，判斷點p是否處於ABC內部（包含邊上）。

解：計算ABp,ACp,BCp的面積之和，若是等同於ABC則p在ABC內部，不然在ABC外部。

5.計算凸多邊形的面積。

解：凸多邊形能夠表示爲多個三角形的合併。

6.判斷點p與向量AB的關係。

解：至關於判斷向量Ap與向量AB的關係。

7.判斷點p在線段AB上。

解：要保證p於向量AB共線，以後還要保證min(A.x,B.x)<=p.x<=max(A.x,B.x)，且min(A.y,B.y)<=p.y<=max(A.y,B.y)。

8.三角形的心臟。

解：1.外心（外接圓圓心），三條中垂線交點。

　　2.心裏（內接圓圓心），三條角平分線交點。

　　3.重心，三條中線交點，三條中線將三角形切分爲6個面積相同的三角形，太重心任意一條劃線，將三角形切分爲面積相同的兩部分。

9.計算兩條直線交點，直線分別由兩個不一樣頂點P1,P2與P3,P4給出。

解：利用代數幾何的思想。直線P1P2上的任意點能夠由f(a)=(1-a)P1+ap2給出，同理P3,P4上的點能夠由g(b)=(1-b)P3+bP4給出，當0<=a,b<=1時，f(a)與g(a)分別落在P1P2與P3P4所表明的線段上。

　　而P1P2與P3P4的交點則由等式f(a)=g(b)給定。

　　設Pi=(xi,yi)，則f(a)=g(b)能夠展開爲二元一次方程組：

$$
\begin{cases}
\left( x_2-x_1 \right) a+\left( x_3-x_4 \right) b=x_3-x_1\\
\left( y_2-y_1 \right) a+\left( y_3-y_4 \right) b=y_3-y_1\\
\end{cases}
\\
\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
x_2-x_1& x_3-x_4\\
y_2-y_1& y_3-y_4\\
\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}
a\\
b\\
\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c}
x_3-x_1\\
y_3-y_1\\
\end{array} \right]
\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{c}
a\\
b\\
\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix}
x_2-x_1& x_3-x_4\\
y_2-y_1& y_3-y_4\\
\end{matrix} \right] ^{-1}\left[ \begin{array}{c}
x_3-x_1\\
y_3-y_1\\
\end{array} \right]
$$