模運算的基本性質

基本理論　

基本概念

給定一個正整數p，任意一個整數n，必定存在等式 n = kp + r ； 　　

其中k、r是整數，且 0 ≤ r < p，稱呼k爲n除以p的商，r爲n除以p的餘數。 　　

對於正整數p和整數a,b，定義以下運算： 　　

取模運算：a % p（或a mod p），表示a除以p的餘數。 　　

模p加法：(a + b) % p ，其結果是a+b算術和除以p的餘數，也就是說，(a+b) = kp +r，則(a + b) % p = r。 　　

模p減法：(a-b) % p ，其結果是a-b算術差除以p的餘數。 　　

模p乘法：(a * b) % p，其結果是 a * b算術乘法除以p的餘數。

正整數a，b對p取模，它們的餘數相同，記作 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。 　　

n % p獲得結果的正負由被除數n決定,與p無關。

例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。 　

基本性質　

（1）若p|(a-b)，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7) 　　

（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p) 　

（3）對稱性：a≡b (% p)等價於b≡a (% p) 　　

（4）傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p) 　　

運算規則

模運算與基本四則運算有些類似，可是除法例外。其規則以下： 　　

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1） 　　

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2） 　　

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3） 　　

ab % p = ((a % p)b) % p （4） 　　

結合率：

 ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5） 　　

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6） 　

　

交換率： (a + b) % p = (b+a) % p （7） 　　

(a * b) % p = (b * a) % p （8） 　　

分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9） 

　　

重要定理

若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10） 　　

若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11） 　　

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)， 　　(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12） 　　

若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有ac≡ bc (%p)； （13）