DP中的樹上邊/點覆蓋問題

目錄

• 樹上邊覆蓋問題
  • 例：luoguP2016 戰略遊戲
  • 簡述題意：
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• 樹上點覆蓋問題
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  • Solution
  • Code:

樹上邊覆蓋問題

例：luoguP2016 戰略遊戲

簡述題意：

每一個節點都能放一個士兵，每一個士兵能看守與他相鄰的全部邊，求覆蓋全部邊最少須要多少士兵？

Solution:

設 \(f[x][1/0]\) 表示回溯到第 \(x\) 個點時所用士兵數量， \(1\) 表示在這裏放一個士兵， \(0\) 表示不放

顯然珂推得轉移方程：

\[f[x][1] = 1 + \sum_{v \in son[x]}min(f[v][1]，f[v][0]) \]

\[f[x][0] = \sum_{v \in son[x]} f[v][1] \]

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;
const int MAXN = 1610;

struct edge{
	int to, nxt;
}e[MAXN << 1];
int head[MAXN], num_edge;
int n, k;
int f[MAXN][2];

int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
	while(ch >= '0' && ch <= '9') s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	return s * w;
}
 
void add_edge(int from, int to){ e[++num_edge] = (edge){to, head[from]}, head[from] = num_edge; }

void dfs(int x, int fa){
	f[x][1] = 1;
	// cout<<x<<endl;
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, x);
		f[x][1] += min(f[v][1], f[v][0]);
		f[x][0] += f[v][1];
	}
}

int main()
{
	n = read();
	for(int i = 1, x; i <= n; ++i){
		x = read(), x++;
		k = read();
		for(int j = 1, v; j <= k; ++j){
			v = read(), v++;
			add_edge(x, v), add_edge(v, x);
		}
	}

	dfs(1, 0);

	printf("%d", min(f[1][1], f[1][0]));

	return 0;
}

樹上點覆蓋問題

例：P2458 [SDOI2006]保安站崗

簡述題意

每一個保安能夠保護本身的點和相鄰點，求將樹上全部點都覆蓋最少所需保安數

Solution

設 \(f[u][0/1/2]\) 表示回溯到第 \(u\) 個點時所用士兵數量， \(0\) 表示在本身這裏放一個士兵， \(1\) 表示被兒子覆蓋， \(2\) 表示被父親覆蓋

轉移方程：

\[f[u][0] = \sum_{v \in son[u]} min(f[v][0],f[v][1],f[v][2]) \]

\[f[u][1] = f[x][0] + \sum_{v \in son[u] \And \And v != x} min(f[v][0], min[v][1]) \]

\[f[u][2] = \sum_{v \in son[u]} min(f[v][0], f[v][1]) \]

感受 \(f[u][0]\) 和 \(f[u][2]\) 的轉移方程都比較顯然

對於 \(f[u][1]\) 由於不一樣於樹上邊覆蓋問題，它能夠被本身的兒子覆蓋，因此對兒子的要求是：要麼是被本身覆蓋，要麼被本身的兒子覆蓋

但對於 \(u\) 自己要保證本身的兒子中有一個是被本身覆蓋，因此要求出最優的那個兒子 \(x\) 就行了，能夠枚舉全部兒子，這裏介紹一種數學式子優化

最優的 \(x\) 知足 \(f[x][0] - min(f[x][0], f[x][1])\) 最小

參考題解

證實：

由於 \(x\) 知足 \(f[u][1] = f[x][0] + \sum_{v \in son[u] \And \And v != x} min(f[v][0], min[v][1])\)

設 \(F(u, x) = f[x][0] + \sum_{v \in son[u] \And \And v != x} min(f[v][0], min[v][1])\)

假設 \(x\) 不是最優的， 則必有一個 \(y\) 知足 \(F(u, x) > F(u, y)\)

將這個式子化簡得（能夠將相同的部分消掉）

\(f[x][0] - min(f[x][0], f[x][1]) > f[y][0] - min(f[y][0], f[y][1])\)

因此有最優的 \(x\) 知足 \(f[x][0] - min(f[x][0], f[x][1])\) 最小

證畢

下面是代碼時間：

Code:

/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;
const int MAXN = 1e6+6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct edge{
	int to, nxt;
}e[MAXN << 1];
int head[MAXN], num_edge;

int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();	}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	return s * w;
} 

int n;
int f[MAXN][3];

void add_edge(int from, int to){
	e[++num_edge] = (edge){to, head[from]}, head[from] = num_edge;
}

void dfs(int x, int fa){
	int sson = 0;
	int minn = 988888889;
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, x);
		f[x][0] += min(f[v][0], min(f[v][1], f[v][2]));
		f[x][2] += min(f[v][0], f[v][1]);
		if(f[sson][0] - min(f[sson][0], f[sson][1]) > f[v][0] - min(f[v][0], f[v][1])) sson = v;
	}
	f[x][1] = f[sson][0];
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == fa || v == sson) continue;
		f[x][1] += min(f[v][0], f[v][1]);
	}
}

int main()
{
	n = read();
	for(int i = 1, m, u, v; i <= n; ++i){
		u = read(), f[u][0] = read(), m = read();
		for(int j = 1; j <= m; ++j){
			v = read();
			add_edge(u, v), add_edge(v, u);
		}
	}
	f[0][0] = inf;
	dfs(1, 0);
	printf("%d", min(f[1][0], f[1][1]));
	return 0;
}

其餘兩個樹上點覆蓋問題例題，稍微改一下輸入便可，一個套路隨便搞：

P2899 [USACO08JAN]Cell Phone Network G

T155737 搬書

最後歡迎你們來補充啊，團隊私題要是涉及隱私的話能夠聯繫我