DP————最小覆蓋問題

原題：https://www.luogu.org/problem/P2279

題解轉載自：https://www.luogu.org/blog/contributation/solution-p2279

 

思路

找最低沒被覆蓋到的點，並在它的祖父處設一個消防站。考慮到這個點的全部子孫後代都已經被覆蓋了，所以這時覆蓋祖父能蓋到更多額外的點，並保證結果不會更差。

不少思路是用dfs或堆求取最低節點，實際上不必，只要預處理出深度（邊輸入邊處理）並排序，碰到已覆蓋就跳過，未覆蓋就在祖父處設消防站，ans++。

問題在於怎樣才能判斷這個點覆蓋到了沒有。對於兒子或孫子覆蓋他，能夠在在兒子處設站時就標記它；而對於父親和祖父覆蓋他，能夠用兒子對父親的映射f來解決；問題在於兄弟。其實，能夠用o數組維護「離i最近的消防站到i的距離」，當o[父親]==1時，就能肯定它是否被覆蓋。

代碼

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 2020
#define FOR(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int n,b[N],f[N],d[N],o[N],ans,u,v,w;
bool cmp(int x,int y){return d[x]>d[y];}
int main(){
    scanf("%d",&n);b[1]=1,o[1]=o[0]=N;
    FOR(i,2,n) scanf("%d",&f[i]),d[i]=d[f[i]]+1,b[i]=i,o[i]=N;
    sort(b+1,b+n+1,cmp);
    FOR(i,1,n){
        v=b[i],w=f[v],u=f[f[v]];
        o[v]=min(o[v],min(o[w]+1,o[u]+2));
        if(o[v]>2){
            o[u]=0,ans++;
            o[f[u]]=min(o[f[u]],1),o[f[f[u]]]=min(o[f[f[u]]],2);
        }
    }printf("%d",ans);
}

 

　這種方法的普適性很強，能夠解決半徑爲k的最小覆蓋問題。並且不用存圖。只須要把維護「父親和爺爺」改爲維護「上位k位祖先」便可，複雜度O(N*K)，常數也很小。