Python | 遞歸

提及遞歸，我以爲其實大部分人應該是不陌生的，遞歸普遍存在於生活中。
好比：

The woman in this image holds an object that contains a smaller image of her holding an identical object, which in turn contains a smaller image of herself holding an identical object, and so forth.[from wikipedia]

那麼遞歸的定義是什麼呢？
在數學和計算機科學中，咱們給出一個比較傳統的定義是：
它們有兩個特性。

1. 一個基本特例，也稱做平凡（通常）狀況，它是遞歸終止的情形

2. 一個已定義好的規則來使其它非基本的情形轉化爲基本情形

可能這個上面的定義比較枯燥，那麼咱們用一個經典的例子來講明一下。

Fibonacci sequence

Fib(0) = 0, 是一個基本狀況
Fib(o) = 1, 是第二個基本狀況
因此 Fibonacci sequence 總共有兩個基本情形
對於其它情形，咱們定義 Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2)

到這裏，估計讀者已經對遞歸有一個大概的印象了，那麼在Python中咱們怎麼用遞歸來實現某些特定的功能呢？

我首先用一些簡單的例子來進行說明。

例1.

假如你要求序列數列 1, 2, 3, 4, ..., n 的和。好比對於n=4， 其和是10。那假如咱們用遞歸來描述這種狀況呢？
定義:

1. 基本狀況：S(1) = 1

2. 其它情形: S(n) = S(n-1) + n
   因此在上述求和中S(n)的定義又用到了本身自己的定義，這就構成了遞歸。

咱們用Python來實現如下上面的思路。

def Sum(n):
    if n==1:
    #對應基本情形
        return 1
    return Sum(n-1) + n#對應遞歸情形

>>> Sum(4)
10
>>> Sum(10)
55
>>> Sum(100)
5050

代碼如上，能夠看到，問題若是用遞歸來解決的話，能夠與現實很好的結合，由於現實中有不少問題也是遞歸定義的。
此外，使用遞歸編程也比較簡單。

例2.

經典的求階乘

定義 F(n) 爲階乘函數。

基本情形: F(0) = 1, F(1) = 1

其它情形: F(n) = F(n-1) * n

實現:

def F(n):
    if n==0 or n==1:
    #對應基本情形
        return 1
    return F(n-1)*n#對應遞歸情形

>>> F(4)
24
>>> F(10)
3628800

例3.

求 斐波那契數列

定義Fib(n) 爲斐波那契數列

基本情形:

Fib(0) = 1, Fib(1) = 1

其它情形:

Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)

實現:

def Fib(n):
    if n==0 or n==1:
        return 1
    return Fib(n-1)+Fib(n-2)

>>> Fib(10)
89
>>> Fib(8)
34
>>>

除此之外，接下來的幾道題也能夠用遞歸求解，雖然可能在有些問題上，遞歸併非最合適的工具，可使用迭代獲得比遞歸更爲高效的算法。

例4.

計算s=a+aa+aaa+aaaa+aa...a，其中 a是一個數字。
其中，a 以及 n 由用戶輸入，可是咱們在這裏就直接給定了。

定義：
函數 SSS(a, n) 的值爲上述所求值

基本情形：

SSS(a, 1) = a

其它情形:
SSS(a, n) = SSS(a, n-1) + a...a(共n項)

def SSS(a, n):

    #這裏我說明一下，直接用input函數獲得的就是字符串，除非你已經作了轉換
    #因此,咱們設定a、n都是字符串
    n = int(n)#轉換
    if n == 1:
        return int(a)
    return SSS(a, n-1) + int(a * n)#請思考這裏a*n

>>> SSS('2', '5')
24690
>>> SSS('2', '1')
2
>>> SSS('2', '2')
24
>>>

例5.

在一個排列中，若是一對數的先後位置與大小順序相反，即前面的數大於後面的數，那麼它們就稱爲一個逆序。一個排列中逆序的總數就稱爲這個排列的逆序數。好比排列[1,4,3,2]中，4在3前面，但4>3，則4和3逆序，同理，4和2逆序，3和2逆序，共有3對逆序，所以這組排列的逆序數爲3。如今請你設計一個程序，判斷用戶輸入的數組的逆序數。

定義：
OP(seq, n)爲序列seq中前n項的逆序數

基本情形:
OP(seq[1...n], 1) = 0，對於只有一個元素的集合，逆序數必然只有0

其它情形:
OP(seq[1...n], n) = OP(seq[1...n, n-1] + F(n)，其中，F(n)是n關於seq[1...n-1]的逆序數.

實現:

def OP(seq, n):
    if n == 1:
        return 0
    #不爲0
    Fn = 0
    for i in range(0, n-1):
        if seq[n-1] < seq[i]:
            Fn+=1
    return OP(seq, n-1)+Fn

>>> s = [5, 4, 3, 2, 1]
>>> s
[5, 4, 3, 2, 1]
>>> OP(s, len(s))
10
>>>

例6.

輸入某年某月某日，判斷這一天是這一年的第幾天？

假如咱們要用遞歸實現這樣的程序，該怎麼考慮呢？

首先，咱們得定義出咱們的遞歸函數，它有三個變量，年，月，日。

定義:WhichDay(year, month, day)

基本狀況: WhichDay(year, month, day) 當month = 1時，能夠看出，此時該函數的值爲 day

其它情形:
WhichDay(year, month, day) = WhichDay(year, month-1, F(month-1))+day

請注意,我在遞歸式子中使用的F(month-1), 這個表明(month-1)這一月的總天數。

實現:

F = { 1:31, 2: 28, 3:31, 4:30, 5:31, 6:30, 7:31, 8:31, 9:30, 10: 31, 11: 30, 12: 31}
def WhichDay(year, month, day):
    if month == 1:
        return day
    flag = 0#二月是否閏年標誌
    if month == 3:
        #二月特殊處理
        #這裏month等於3請讀者思考
        if (year % 4 == 0 and year % 100!=0) or year % 400 == 0:
            flag = 1#判斷閏年
    return WhichDay(year, month-1, F[month-1]+flag)+day

>>> WhichDay(2016, 2, 1)
32
>>> WhichDay(2016, 11, 8)
313
>>> WhichDay(2016, 12, 31)
366
>>>

雖然上面的問題並非很適合使用遞歸來實現，可是我主要是想跟你們分享一個遞歸解決問題中的思路，以及遞歸是一個很強大的工具，可是同時會產生很嚴重的效率問題。關於這一點，能夠查看遞歸優化，能夠很大程度上改善遞歸的效率。

但願讀者看完這篇教程，能夠有所收穫，謝謝。