三維空間的投影變換——點，平面，直線，二次曲面

1. 三維空間中的點

在三維空間P³中的一點(X, Y, Z)^T，它的齊次座標爲4元向量(X₁,X₂,X₃,X₄)^T，可歸一化表示爲((X, Y, Z, 1)^T，若X₄ = 0，則表示該點位於無限遠處。

對三維空間P³上的點的投影變換，經過對齊次向量X左乘一個4x4非奇異矩陣H獲得，即X' = HX. 其中變換矩陣H有15個自由度，外加一個任意比例因子。

2. 三維空間中的平面

與二維空間中直線的表示方法類似，三維空間中的平面能夠用以下方程表示爲

π₁X +π₂Y +π₃Z +π₄ = 0

所以平面的齊次表示爲π = (π₁,π₂,π₃,π₄)^T，它有3個自由度。上式可簡寫爲

π^TX = 0

這表示點 X = (X, Y, Z, 1)^T 位於平面π 上。

3. 平面的性質

三點決定一個平面。設有3個線性獨立的點Xi, for i = 1,2, 3, 它們均位於一個平面 π 上，即知足π^TXi = 0。進行矩陣堆疊獲得

因而平面 π 是這個3x4矩陣的零空間向量，可在任意比例尺度上，被惟一肯定。

在平面空間P²中，兩點決定一條直線，直線l 除了能夠用零空間向量法求解以外，還能夠經過兩個齊次點的叉積 l = x × y 直接求得。在三維空間P³中，也能夠用相似叉積的方法求解平面。

三個平面決定一點。設有3個線性獨立的平面π_i, for i = 1,2, 3, 則它們的交點X能夠由下式求得

  

點X 是這個3x4矩陣的零空間向量。這是平面空間P²中兩線交於一點在三維空間P³中的推廣。

投影變換。在點變換 X' = HX 下，平面的變換表示爲：

π' =H^-Tπ

參數化。在平面π上的一點X能夠寫成

X = Mx

其中4x3矩陣M的各列是π^T的零空間，即π^T M = 0。而3元向量 x 表示X在二維空間P²上的投影，是對點X的參數化。

4. 三維空間中的直線

直線能夠定義爲兩個點的連線，或兩個平面的相交。一個三維空間中的點有3個自由度，兩個點A和B的連線知足以下方程

可見，直線 l 是這個2x4 矩陣的零空間，它有4個自由度（由於3x4矩陣的零空間有3個自由度）。在空間P³中對一個自由度爲4的對象的齊次表示是困難的，由於它是一個5元向量，而點和平面的齊次表示都是4元向量。有多種表示方法能夠解決這個表達困難的問題。

直線的組合表示。三維空間中的直線能夠直接用上述的2x4矩陣W來表示：

它包含兩個點的組合，表明以這兩點爲基向量所張成的空間。該直線其實是W的零空間。另外一方面，W的零空間一定以兩個線性獨立的向量爲基，假設這兩個基向量分別爲P和Q，則WP = 0, 進而 A^TP = B^T P =0，意味着 P 是包含點A和點B的一個平面。一樣Q也是包含點A和點B的一個平面。故該直線是這兩個平面的交集，從而，直線也能夠表示爲以下2x4矩陣：

它表示以兩個平面爲基向量所張成的空間。該直線實際上也是W*的零空間。

這種組合表示方式也能夠推廣到平面，例如，一個平面π也能夠表示成一個點X和一條直線W的組合矩陣M，即

平面 π 就是矩陣M的零空間。矩陣M是一個3x4矩陣，所以它也能夠看作是三個共麪點的組合。

5. 三維空間中的二次曲面(quadrics and dual quadrics)

空間P³中的二次曲面由下式定義：

X^TQX = 0

其中Q是一個對稱的4x4矩陣，它被用來表明二次曲面。

二次曲面的性質：

 (1) 一個quadric有9個自由度，外加一個比例因子。

 (2) 一個quadric由9個線性獨立的點決定。

 (3) 一個quadric定義了一個點和一個平面之間的極化關係（相似於二維空間中一個conic定義了一個點和一條直線之間的極化關係）。點X相對於Q的極平面爲：

π = QX

 (4) 平面π 與二次曲面Q相交於一個二次曲線C。

 (5) 在點的投影變換X' = HX下，一個quadric的變換則爲

Q' = H^-TQH^-1

 (6) 一個quadric的對偶還是一個quadric。在點的投影變換X' = HX下，一個dual quadric的變換則爲

Q*' = HQ*H^T

可見，計算dual quadric的變換比point quadric的變換要容易。