ECMAScript中的Number Type與 IEEE 754-2008

introduction

稍微深刻了解一下JavaScript浮點數的開發者都會知道浮點數的偏差問題，也就是說IEEE754-2008的浮點數偏差。 常見的案例爲: 0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004 不管是google一下或者baidu一下，這類文章層出不窮，可是不少都是淺嘗即止，沒法讓我可以邏輯通順的理解。在全部閱讀的中文資料當中，我以爲較優秀的是camsong同窗的抓住數據的尾巴，有些圖是直接借鑑該同窗的(會註明)，可是這篇文章的一個問題是，對於某些數學上的區間表示不清楚，好比到底是開區間仍是閉區間。所以，我寫下了該篇文章。 主要閱讀的資料來源: ECMAScript 2015, ECMAScript 2018, wiki, etc.

首先，給出你們整篇內容的思惟導圖:

前置知識

1. 代數數學告訴咱們實數(real number)包含有理數(rational number)和無理數:

• 有理數是一個整數a和一個正整數b的比(a/b),是整數和分數的集合，整數能夠當作分母爲1的分數，有理數的小數部分是有限的或爲無限循環的數。
• 無理數是全部不是有理數字的實數，常見的無理數有：歐拉數e，黃金比例φ,數字π等.

很明顯，在後面會知道，現代計算機使用有限的bits來存儲浮點數，所以只能精確的表示實數中小數部分爲有限的有理數，對於其餘的數學實數數字只能是近似等於而已。借用網絡上的一張圖表示便是：

結論1：數學中的實數是連續的直線，而計算機中浮點數是實數直線的間斷的點。

2. 在1985年之前，編程語言對於浮點數的存儲各自有各自的標準，而在1985年後，基本都採用IEEE754 arithmetic標準，目前IEEE754最新版本爲IEEE754-2008, 而ECMAScript 2015之後Number Type遵循 double-precision 64-bit format IEEE754-2008 arithmetic. 具體的章節爲 6.1.6 The Number Type

須要注意的是，任何標準的實現可能和標準自己有差異，而ECMAScript Number Type在描述Number type和IEEE754-2008在對double-precision 64-bit format的描述有稍微的不一樣, 具體在後面詳細講解

3. 遵循IEEE-754的常見語言實現，好比 C and C++, Common Lisp, Java, JavaScript等。這類語言常見的關於小數的問題有兩類：

• 數據精度丟失
• 大數危機(安全整數範圍)

4. 咱們回顧一下計算機組成原理當中，關於二進制和十進制的轉換,主要分爲整數部分和小數部分：

IEEE754 64-bit double precision 浮點數

首先看下浮點數的存儲方式，64bits能夠分爲3個部分：

• 符號位S： 第一位是正負數符號位(sign), 0表示正數，1表示負數。這也是爲何會出現+0和-0的緣由。
• 指數位E：中間的11位存儲指數(exponent），用來表示次方數
• 尾數位M：最後的52位是尾數(mantissa), 超出的部分採用進1舍0.

採用wiki上的圖表示就是:

轉換成數學公式爲:

1. 上述的公式很明顯遵循科學計數法的規範，十進制0<M<10,二進制位0<M<2，也就是對於二進制來說整數部分只能是1，因此爲了更高的精度表示,咱們在計算機中存儲的時候能夠捨去整數部分的1，只保留後面的小數部分。

11.125 轉換成二進制爲 1101.001 轉換成科學表達式  1.101001* 2^3
複製代碼

2. 咱們來看指數位E，E是一個無符號整數，取值範圍是[0, 2047]，可是咱們一般用科學計數法表示數據時指數是能夠爲負數的，所以約定一箇中間數(exponent bias)1023表示爲0，所以[1,1022]表示指數位負，[1024,2046]表示爲正(這裏注意指數位爲0和2047被用做特殊數字用途)。最後的公式變化爲:

3. 下面咱們用0.1來解釋浮點偏差的緣由：

• 0.1轉成二進制表示爲0.0001100110011001100(1100循環), 轉成科學計數法爲1.100110011001100 * 2^-4,所以E= -4+1023 = 1019;M捨去捨去首位的1，小數點後第53位爲1，遵循進1舍0，獲得最後的結果爲:

咱們將上面的二進制數字在數學上轉化成十進制爲: 0.100000000000000005551115123126, 即出現了經典的浮點數偏差.

4. 下面咱們來看看M，也就是精度。53-bit significand precision轉換成10進制可以保證15到17位的significant decimal digits precision（2−53 ≈ 1.11 × 10−16）， IEE754-2008對於邊界狀況有以下：

• 若是一個十進制有最多15個有效數字，轉換成IEEE double-precision表示，而後再轉換成十進制，最後的結果必須和最開始的十進制相同
• 若是一個IEEE 754 double-precision數字轉換成一個十進制(至少17 significant digits)，而後再轉換成double-precision 表示，最後的結果也必須和最開始的二進制相同。

所以，53-bit的精度轉換成10進製爲16個十進制數字(53log10(2) 約等於15.955).

安全整數

首先，咱們給出結論，ECMAScript的安全整數範圍爲 [-2^53, 2^53]，那麼爲何呢？

1. IEE754 64-bit沒法表示2^53 + 1，由於尾數只有52位，共有2^53個選擇，而2^53 + 1，轉換成科學計數法 2^53 * (1+ 2^-53)，IEEE754 64-bit是沒有辦法表示的。這樣明顯是不安全的。

可是對於2^53 + 2，轉換成科學計數法 2^54 * (1+ 2^-52)能夠用IEEE754 64-bit表示。

2. 根據上面的現象，IEEE754可以表示的浮點數能夠抽象爲:

• [2^53, 2^54] 之間的數,IEEE754 64-bit可以表示的數都是能夠被2整除的，兩數之間的間隔爲2.
• [2^54, 2^55] 之間的數的間隔爲4
• 那麼 [2^51, 2^52] 的數字與數字的間隔爲0.5
• 數學概括法總結一下:The spacing as a fraction of the numbers in the range from 2^n to 2^n+1 is 2^(n−52).

具體實現的64-bit precision案例

1. 這裏能夠看出指數E爲0和2047是有特殊含義的，E爲0除了表示+0和-0，還表示subnormal numbers. E爲2047除了表示+Infinity和-Infinity，還表示各類NaN。NaN的個數爲2^53 - 2個。

2. 引入了兩個概念:subnormal double和normal double,下面的圖基本可以表達二者之間的數學含義:

在計算機系統當中，一個未加強的floating-point system只能包含normalized numbers（上圖中的紅色），而容許subnormal numbers（藍色）擴展了系統的數字範圍，處於系統underflow gap（下溢）和0之間。下面用案例詳細解釋了二者之間的區別：

• 在normal floating-point value當中，咱們經過exponent（指數）的偏移來移除尾數(significand)的0(好比0.0123 = 1.23 * 10^-2)。而subnormal numbers在significand中使用了leading zero，什麼是leading zero具體看下面。
• 在IEEE floating-point number當中，好比一個positive normalized number，一般能夠表示爲m~0~.m~1~m~2~...m~p-1~（這裏~2~表示的下標，m表明一個sidnificant digit, p是精度，m~0~不爲0）。對於一個subnormal number, exponent是可能表示的最小的exponent，zero是significand digit （0.m~1~m~2~...m~p-1~），也就是說全部的subnormal number都比最小的normal number更接近0.

ECMASCript2015 specification: 6.1.6 Number Type

在ECMAScript規範當中，並無直接用s * 2^(e-1023) * M這種表達方式，而是將M經過位移轉換成整數，也就是s * 2 ^ (e-1075) * M. 這是須要注意的一點。 具體規範當中總結出來如下幾點：

1. 64 bit去掉一位符號位，能夠表達爲 2^64 個不一樣的值，而IEEE754中2^53 - 2個 "not-a-number"值在ECMAScript中統一表達爲NaN，也就是說，Number type有(2^64 - 2^53 + 3)個不一樣的values。
2. 兩個特殊的值，爲Infinity 和 -Infinity, 這裏兩個值的exponent轉換爲二進制位11個1，mantissia全爲0(二進制).具體能夠看上一小節的圖篇案例。
3. 根據上面兩點推斷出，有2^64 - 2^53個finite numbers. 一半是positive numbers，另外一半是negative numbers。也就是說這類值包含有positive zero和negative zero兩個0值.
4. 也就是說，有2^64 - 2^53-2個非0的finite values，而這類值能夠分爲兩類:
   • normalized value ：共包含2^64 - 2^54個值，這類值的form是: s * M * 2^e, s是+1或-1, m是positive integer（[2^52, 2^53)）,e的範圍是[-1074, 951]，這裏能夠看出ECMAScript的實現沒有采用exponent bias的表達方式

• denormalized number: 共有2^53 - 2個，公式仍然是: s * M * 2^e, s是+1或-1, m是positive integer（(0, 2^52)）,e的值爲-1074

5. 咱們知道，實際上按照二進制轉十進制計算，因爲E的最大值是1023(除了特殊的兩個e取值)，也就是說實際上能夠表示的最大整數位2^1024 - 1，咱們知道這超過了最大安全整數範圍。對於不能用IEEE-754 64-bit表示的值採起round to nearest, ties to even 的模式，round to nearest咱們理解，可是什麼是ties to even呢? 舉個例子: 9007199254740995在IEEE754 64-bit中是沒法表示的，所以會被綁定到9007199254740996上面去。

下面爲何0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004?

咱們來看計算步驟:

// 0.1 和 0.2 都轉化成二進制後再進行運算
0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010 +
0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010 =
0.0100110011001100110011001100110011001100110011001100111

轉換爲IEEE754 double point爲 1.0 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 100 * 2^(-2),若是用二進制轉成十進制爲(0.3 + 5/(100 * 2^50)).去小數點後面17位精度爲0.30000000000000004，
這裏取的是17位而不是16位，是IEEE754的規範中的計算結果
複製代碼

爲何x=0.1能獲得0.1

在ECMAScript當中，沒有使用IEEE754的exponent bias，而是把mantissa當中是整數，exponent爲[-1024,951]，而2^53的十進制表示最多16位有效數字，也是最大表示的進度:

咱們該如何處理這類浮點偏差問題

首先，讓我回想起在刷LeetCode題的時候，有一類問題即大數問題，當要計算的數超出了語言的上限，那時候咱們是用數組來處理的。

首先引入兩個方法, Number.prototype.toPrecision和Number.prototype.toFixed，二者都可以對於多餘數字作湊整處理：

• toPrecision：The toPrecision() method returns a string representing the Number object to the specified precision，是用來處理精度的，對於精度數學中表示從左只右第一個不爲0的數字開始算起
• toFixed: 從小數點後指定位數取整。

對於使用toFixed來作湊整處理，咱們須要注意一些特殊案例: 好比(1.005).toFixed(2)返回1.00，由於1.005實際爲1.0049999999999999999 而對於浮點偏差問題，咱們一般分紅兩類解決方案，解決方案來自camsong同窗：

1. 對於數據展現類 對於須要展現的數字使用toPrecision處理後，用parseInt轉成數字再顯示:

function strip(num, precision = 12) {
  return +parseFloat(num.toPrecision(precision));
}
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這裏camsong同窗採起12做爲默認精度，是經驗的選擇，由於通常選12能處理大部分問題

2. 對於數據運算類 先將小數轉成整數再運算:

/** * 精確加法 */
function add(num1, num2) {
  const num1Digits = (num1.toString().split('.')[1] || '').length;
  const num2Digits = (num2.toString().split('.')[1] || '').length;
  const baseNum = Math.pow(10, Math.max(num1Digits, num2Digits));
  return (num1 * baseNum + num2 * baseNum) / baseNum;
} 
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而且該同窗也提供了相關地庫:number-precision

一些其餘著名的庫包括但不限於: Math.js, big.js等

reference

1. IEEE754 double 可視化
2. 抓住數據的小尾巴 - JS浮點數陷阱及解法
3. double-precision floating-point format
4. denormal number
5. floating point arithemtic
6. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic
7. ECMAScript Number Type