天天AC系列(十三):兩數相除

1 題目

LeetCode第29題,計算兩數相除的商，不容許使用乘法，除法，求模運算符。

2 減法

首先判斷結果是否須要加上負號，將商置爲0後，被除數不斷減去除數，同時商自增。最後根據是否有負號返回相應的商。

boolean negative = true;
if((dividend > 0 && divisor > 0) || (dividend < 0 && divisor < 0))
    negative = false;
dividend = dividend > 0 ? dividend : -dividend;
divisor = divisor > 0 ? divisor : -divisor;
int result = 0;
while(dividend >= divisor)
{
    dividend -= divisor;
    ++result;
}
return negative ? -result : result;

3 思考

3.1 溢出

-2147483648與2147483647這兩個數，是4字節的int的最小值與最大值，在java中，它們可用Integer.MIN_VALUE與Integer.MAX_VALUE表示，當一個int爲Integer.MIN_VALUE時，取反也是這個數：


最簡單最粗暴的解決方案就是使用long，long能夠放下-Integer.MIN_VALUE，所以，直接將被除數與除數的類型改爲long，返回值轉爲long便可。
可是提交了一下，超時：

因此對除數1與-1進行特判一下：

if(divisor == 1)
    return dividend;
if(divisor == -1)
{
    if(dividend == Integer.MIN_VALUE) return Integer.MAX_VALUE;
    return -dividend;
}

若除數是1直接返回被除數，這時不須要考慮溢出，如果除數是-1，須要特判一下被除數是否爲int的最小值，由於-Intger.MIN_VALUE也是Intger.MIN_VALUE，題目也說了返回int的最大值。
而後信心十足地提交了：

慘淡。

3.2 負數

溢出的緣由，就算由於負數的存儲範圍比正數多1，就算由於那兩個可惡的-2147483648與2147483647.
上面的作法是判斷結果的負號，而後將被除數與除數都轉爲正數來計算，能夠換一種思路，將被除數與除數都轉爲負數來計算：

dividend = dividend > 0 ? -dividend : dividend;
divisor = divisor > 0 ? -divisor : divisor;
int result = 0;
while(dividend <= divisor)
{
    dividend -= divisor;
    ++result;
}
if(negative)
{
    if(-result == Integer.MIN_VALUE)
        return Integer.MIN_VALUE;
    return -result;
}
else
{
    if(result == Integer.MIN_VALUE)
        return Integer.MAX_VALUE;
    return result;
}

結果從0開始自增，while循環的條件改爲被除數小於等於除數而不是以前的被除數大於等於除數，而後對得出的商判斷正負與邊界，若是是負數，判斷商的相反數是不是int的最小值，如果的話，表示真正的商爲2147483648，負溢出，返回int的最小值，若不是負數，判斷商是否爲int的最小值，如果的話，表示真正的商爲2147483648，正溢出，返回int的最大值。

快了600ms，仍是有效果的。

3.3 翻倍與移位

速度慢的緣由，是由於減法。所以須要改進減法，使被除數更快地逼近除數。
對於被除數爲2147483647，除數爲1的狀況，須要減2147483647次，才能得出結果，因此，使用翻倍，第一次減1，第二次減2，第三次減4，以此類推。
可是怎麼翻倍怎麼操做呢?

a *= 2 ?

題目說不能用乘法運算符。
做爲一個現代的程序員，總不能這樣翻倍吧？

a += a;

這時就輪到位移運算符登場了，左移一位，至關於乘2，右移一位至關與除2：

a <<= 1; // a *= 2
a >>= 1; // a /= 2

整體思路是設置一個tempResult與一個tempDivisor，不斷將tempResult與tempDivisor翻倍，直到被除數大於等於tempDivisor或tempDivisor溢出，而後把tempResult增長到result上面。

while(dividend <= divisor)
{
    int tempDivisor = divisor;
    int tempResult = 1;
    while(dividend < (tempDivisor<<1) && tempDivisor > (Integer.MIN_VALUE >> 1))
    {
        tempDivisor <<= 1;
        tempResult <<= 1;
    }
    dividend -= tempDivisor;
    result += tempResult;
}

其中：

tempDivisor > (Integer.MIN_VALUE >> 1)

這個while中的判斷很重要，若是tempDivisor大於int的最小值的一半，則tempDivisor左移1位後會小於Integer.MIN_VALUE，也就是小於int的最小值，會溢出，跳出循環後會致使被除數減去一個正數而不是一個負數，這樣至關於增大了被除數致使計算的結果錯誤。

4 遞歸

遞歸能夠減小設置一個result變量，直接在返回值里加上便可：

public int div(int dividend,int divisor)
{
    if(dividend <= divisor)
    {
        int tempDivisor = divisor;
        int tempResult = 1;
        while(dividend < (tempDivisor<<1) && tempDivisor > (Integer.MIN_VALUE >> 1))
        {
            tempDivisor <<= 1;
            tempResult <<= 1;
        }
        return tempResult + div(dividend-tempDivisor,divisor);
    }
    return 0;
}

代碼與迭代基本相同，結束條件爲被除數大於除數，在進入遞歸前須要對被除數與除數處理正負：

public int divide(int dividend,int divisor)
{
    boolean negative = (dividend > 0) ^ (divisor > 0);
    int result = div(dividend > 0 ? -dividend : dividend,divisor > 0 ? -divisor : divisor);
    if(negative) return -result;
    return result == Integer.MIN_VALUE ? Integer.MAX_VALUE : result;
}

5 源碼

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