如何從最壞、平均、最好的狀況分析複雜度？

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前言

你好，我是彤哥，一個天天爬二十六層樓還不忘讀源碼的硬核男人。

上一節，咱們從過後統計法過渡到漸近分析法，詳細講解了如何進行算法的複雜度分析。

可是，若是遵循嚴格的漸近分析法，須要掌握大量數學知識，這無疑給咱們評估算法的優劣帶來了很大的挑戰。

那麼，有沒有更好地評估算法的方法呢？

答案是必然的，本節，咱們就從最壞、平均、最好三種狀況來分析分析複雜度。

案例

爲了便於講解，我寫了一個小例子：

public class LinearSearch {
    public static void main(String[] args) {
        int[] array = new int[]{1, 8, 9, 3, 5, 6, 10, 13};
        int index = search(array, 10);
        System.out.println("index=" + index);
    }

    private static int search(int[] array, int value) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            if (array[i] == value) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

這個例子使用線性搜索從一個數組中查找一個元素，這個元素有可能存在，也有可能不存在於數組中。

最壞狀況

在最壞狀況下，要查找的元素不存在於數組中，此時，它的時間複雜度是多少呢？

很簡單，必然須要遍歷完全部元素纔會發現要查找的元素不存在於數組中。

因此，最壞狀況下，使用線性查找的時間複雜度爲O(n)。

平均狀況

在平均狀況下，咱們要照顧到每個元素，此時，它的時間複雜度如何計算呢？

在上一節，咱們已經講過計算方式了，不過，這裏考慮到有元素不存在於數組中，因此，是(n+1)種可能：

1*1/(n+1) + 2*/(n+1) + ... + n*1/(n+1) + (n+1)/(n+1) = 1/(n+1) * (n+1)(n+2)/2 = (n+2)/2

因此，在平均狀況下，忽略掉常數項，使用線性查找的時間複雜度也是O(n)。

爲何要忽略掉常數項？

當n趨向於無窮大的時候，常數項的意義不是很大，因此，能夠忽略，好比(n+2)/2=n/2 + 1，n自己已經趨向於無窮大，加不加1有什麼意義呢，n的倍數是2仍是1/2並不會有明顯的差異。

一樣地，低階項通常也會抹掉，好比2n^2 + 3n + 1，當n趨向於無窮大的時候，n^2的值是遠遠大於3n的，因此，不須要保留3n。

因此，計算複雜度時一般都會把常數項和低階項抹掉，只保留高階項。

最好狀況

最好狀況是什麼呢？

若是咱們要查找的元素正好是數組的第一個元素，查找一次就找到了，這無疑是最好的狀況。

因此，在最好狀況下，使用線性查找的時間複雜度是O(1)。

小結

經過上面的分析，能夠看到，最壞狀況和最好狀況是比較好評估的，而平均狀況則比較難以計算。

可是，最好狀況又不能表明大多數樣本，且平均狀況與最壞狀況在省略常數項的狀況下每每是比較接近的。

因此，一般，咱們使用最壞狀況來評估算法的時間複雜度，這也是比較簡單的一種評估方法，且每每也是比較準確的。

後記

本節，咱們從最壞、平均、最好三種狀況分析了線性查找的時間複雜度，通過詳細地分析，咱們得出結論，一般使用最壞狀況來評估算法的時間複雜度。

請注意，咱們這裏使用了「一般」，說明有些狀況是不能使用最壞狀況來評估算法的時間複雜度的。

那麼，你知道什麼狀況下不能使用最壞狀況來評估算法的時間複雜度嗎？

下一節，咱們接着聊。

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