算法複雜度分析（下）：最好、最壞、平均、均攤等時間複雜度概述

細化時間複雜度分析

代碼千千萬，有些代碼邏輯會很複雜，因此爲了更細化的分析算法的複雜度，再複雜度分析方面引入了4個知識點：

1.最好狀況時間複雜度（best case time complexity）。

2.最壞狀況時間複雜度（worst case time complexity）。

3.平均狀況時間複雜度（average case time complexity）。

4.均攤時間複雜度（amortized time complexity）。

 

複雜度分析 

示例以下(限定條件:0<n且0<x且n和x爲整數)：

 1 public int Function(int n, int x)
 2  {
 3      int sum = 0;
 4      for (int i = 1; i <= n; ++i)
 5      {
 6          if (i == x)
 7              break;
 8          sum += i;
 9      }
10      return sum;
11  }
12  /*
13  * 做者：Jonins
14  * 出處：http://www.cnblogs.com/jonins/
15  */

這段代碼邏輯很是簡單，再此不描述。須要重點分析的是循環這一段代碼，這段代碼根據x值的不一樣，時間複雜度也有區別：

1.當x>n時，此代碼的時間複雜度是O(n)。

2.當1<=x<=n時，時間複雜度是一個咱們不肯定的值，取決於x的值。

3.當x=1時，時間複雜度是O(1)。

這段代碼在不一樣狀況下，其時間複雜度是不同的。因此爲了描述代碼在不一樣狀況下的不一樣時間複雜度，咱們引入了最好、最壞、平均時間複雜度。

 

最好狀況時間複雜度

最好狀況時間複雜度，表示在最理想的狀況下，執行這段代碼的時間複雜度。

上述示例就是當x=1的時候，循環的第一個判斷就跳出，這個時候對應的時間複雜度就是最好狀況時間複雜度。

 

最壞狀況時間複雜度

最壞狀況時間複雜度，表示在最糟糕的狀況下，執行這段代碼的時間複雜度。

上述示例就是n<x的時候，咱們要把整個循環執行一遍，這個時候對應的時間複雜度就是最壞狀況時間複雜度。

 

平均狀況時間複雜度

最好和最好狀況是極端狀況，發生的機率並不大。爲了更有效的表示平均狀況下的時間複雜度，引入另外一個概念：平均狀況時間複雜度。

分析上面的示例代碼，判斷x在循環中出現的位置，有n+1種狀況：1<=x<=n 和n<x。

咱們將全部狀況下代碼執行的次數累加起來（（1+2+3....+n）+n），而後再除以全部狀況數量（n+1），就能夠獲得須要遍歷次數的平均值。

平均狀況複雜度爲：

$ \frac{((1+2+3...+n)+n)}{(n+1)}=\frac{n(n+3)}{2(n+1)} $

推導過程：

$ \because 1+2+3...+n=n+(n-1)+(n-2)...+1 $

$ \therefore (1+2+3...+n)=\frac{n(1+n)}{2} $

$ \therefore   (1+2+3...+n)+n= \frac{n(3+n)}{2} $

大O表示法，會省略係數、低階、常量，因此平均狀況時間複雜度是O(n)。

可是這個平均複雜度沒有考慮各自狀況的發生機率，這裏的n+1個狀況，它們的發生機率是不同的，因此還須要引入各自狀況發生的機率再具體分析。

x要麼在1~n中，要麼不在1~n中，因此它們的機率都是$\frac{1}{2}$。

同時數據在1~n中各個位置的機率都是同樣的爲$\frac{1}{n}$。根據機率乘法法則，x在1~n中任意位置的機率是$\frac{1}{2n}$。

所以在前面推導過程的基礎上，咱們把每種狀況發生的機率考慮進去，那麼平均狀況時間複雜度的計算過程變成：

考慮機率的平均狀況複雜度爲：

$(1\frac{1}{2n}+2\frac{1}{2n}+3\frac{1}{2n}...+n\frac{1}{2n})+n\frac{1}{2}=\frac{3n+1}{4}$

推導過程：

$\because (1+2+3...+n)=\frac{n(1+n)}{2}$ 

$\therefore (1\frac{1}{2n}+2\frac{1}{2n}+3\frac{1}{2n}...+n\frac{1}{2n})=\frac{1}{2n}(1+2+3...+n)=\frac{1}{2n}*\frac{n(1+n)}{2} =\frac{1+n}{4}$ 

$\therefore (1\frac{1}{2n}+2\frac{1}{2n}+3\frac{1}{2n}...+n\frac{1}{2n})+n\frac{1}{2}=\frac{1+n}{4} +n\frac{1}{2}=\frac{3n+1}{4}$ 

 

這就是機率論中的加權平均值，也叫作指望值，因此平均時間複雜度全稱叫：加權平均時間複雜度或者指望時間複雜度。

引入機率以後，平均複雜度變爲O($\frac{3n+1}{4}$)，忽略係數及常量後，最終獲得加權平均時間複雜度爲O(n)。

注意：

多數狀況下，咱們不須要區分最好、最壞、平均狀況時間複雜度。只有同一塊代碼在不一樣狀況下時間複雜度有量級差距，咱們纔會區分3種狀況，爲的是更有效的描述代碼的時間複雜度。

 

均攤狀況時間複雜度

均攤複雜度是一個更加高級的概念，它是一種特殊的狀況，應用的場景也更加特殊和有限。

對應的分析方式稱爲：攤還分析或平攤分析。

示例以下（限定條件：0<=x<=n且0<=n且n,x爲整數）：

 1 int n;
 2 int Function2(int x)
 3 {
 4     int count = 0;
 5     if (n == x)
 6     {
 7         for (int i = 0; i < n; i++)
 8         {
 9             count += i;
10         }
11     }
12     else
13         count = x;
14     return count;
15 }
16 /* 做者：Jonins
17 * 出處：http://www.cnblogs.com/jonins/
18 */

分析上述案例的時間複雜度：

最理想狀況下x!=n，只執行一次賦值便可推出，因此最好時間複雜度爲O(1)。

最壞的狀況下x=n，要執行一次循環累加和的操做，因此最好時間複雜度爲O(n)。

平均的狀況下，由於限定條件0<=x<=n，x在0~n中存在的位置能夠分爲n+1種狀況(0到n)。

當0<=x<n時，時間複雜度爲O(1)。可是x=n的時候是一個例外，它的複雜度是O(n)。

並且這n+1種狀況發生的機率都是同樣的，爲$\frac{1}{n+1}$。因此根據加權平均的計算方法，

平均時間複雜度爲：

$ (1\tfrac{1}{n+1}+1\tfrac{1}{n+1}+1\tfrac{1}{n+1}+...+1\tfrac{1}{n+1})+n\tfrac{1}{n+1} = \tfrac{2n}{n+1} $

推導過程：

$(1\tfrac{1}{n+1}+1\tfrac{1}{n+1}+1\tfrac{1}{n+1}+...+1\tfrac{1}{n+1})+n\tfrac{1}{n+1}$

$=n\tfrac{1}{n+1}+n\tfrac{1}{n+1}$

$=\tfrac{2n}{n+1}$

當省略係數及常量後，平均時間複雜度爲O(1)。

攤還分析法

分析上述示例的平均複雜度分析並不須要如此複雜，無需引入機率論的知識。

由於經過分析能夠看出，上述示例代碼複雜度大多數爲O(1)，極端狀況下複雜度才較高爲O(n)。同時複雜度遵循必定的規律，通常爲1個O(n)，和n個O(1)。針對這樣一種特殊場景使用更簡單的分析方法：攤還分析法。

經過攤還分析法獲得的時間複雜度爲均攤時間複雜度。

大體思路：每一次O(n)都會跟着n次O(1)，因此把耗時多的複雜度均攤到耗時低的複雜度。獲得的均攤時間複雜度爲O(1)。

應用場景：均攤時間複雜度和攤還分析應用場景較爲特殊，對一個數據進行連續操做，大部分狀況下時間複雜度都很低，只有個別狀況下時間複雜度較高。而這組操做其存在先後連貫的時序關係。

這個時候咱們將這一組操做放在一塊兒分析，將高複雜度均攤到其他低複雜度上，因此通常均攤時間複雜度就等於最好狀況時間複雜度。

注意：均攤時間複雜度是一種特殊的平均複雜度（特殊應用場景下使用），掌握分析方式便可。