MySQL 索引 BST樹、B樹、B+樹、B*樹

1、二叉查找樹（Binary Search Tree）BST

即二叉搜索樹：

• 全部非葉子結點至多擁有兩個兒子（Left和Right）；
• 全部結點存儲一個關鍵字；
• 非葉子結點的左指針指向小於其關鍵字的子樹，右指針指向大於其關鍵字的子樹；

    B樹的搜索，從根結點開始，若是查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那麼就命中；不然，若是查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；若是比結點關鍵字大，就進入右兒子；若是左兒子或右兒子的指針爲空，則報告找不到相應的關鍵字；若是B樹的全部非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差很少（平衡），那麼B樹的搜索性能逼近二分查找；但它比連續內存空間的二分查找的優勢是，改變B樹結構。

    右邊也是一個B樹，但它的搜索性能已是線性的了；一樣的關鍵字集合有可能致使不一樣的樹結構索引；因此，使用B樹還要考慮儘量讓B樹保持左圖的結構，和避免右圖的結構，也就是所謂的「平衡」問題；實際使用的B樹都是在原B樹的基礎上加上平衡算法，即「平衡二叉樹」；如何保持B樹結點分佈均勻的平衡算法是平衡二叉樹的關鍵；平衡算法是一種在B樹中插入和刪除結點的策略；

2、B樹

是一種多路搜索樹（並非二叉的）：

• 定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子；且M>2；
• 根結點的兒子數爲[2, M]；
• 除根結點之外的非葉子結點的兒子數爲[M/2, M]；
• 每一個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）
• 非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1；
• 非葉子結點的關鍵字從左至右有序：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
• 非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；
• 全部葉子結點位於同一層；

    B樹的搜索，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查找，若是命中則結束，不然進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指針爲空，或已是葉子結點；

B樹的特性：

• 關鍵字集合分佈在整顆樹中；
• 任何一個關鍵字出現且只出如今一個結點中；
• 搜索有可能在非葉子結點結束；
• 其搜索性能等價於在關鍵字全集內作一次二分查找；
• 自動層次控制，因爲M/2的限制，在插入結點時，若是結點已滿，須要將結點分裂爲兩個各佔M/2的結點；刪除結點時，需將兩個不足M/2的兄弟結點合併；
• 因爲限制了除根結點之外的非葉子結點，至少含有M/2個兒子，確保告終點的至少利用率；

其最低搜索性能爲：

注：N爲關鍵字總數

    B-樹的性能老是等價於二分查找（與M值無關），也就沒有B樹平衡的問題；

 

3、B+樹

B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹：

• 其定義基本與B-樹同，除了：
• 非葉子結點的子樹指針與關鍵字個數相同；
• 非葉子結點的子樹指針P[i]，指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹（B-樹是開區間）；
• 爲全部葉子結點增長一個鏈指針；
• 全部關鍵字都在葉子結點出現；

B+的特性：

• 全部關鍵字都出如今葉子結點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關鍵字剛好是有序的；
• 不可能在非葉子結點命中；
• 非葉子結點至關因而葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點至關因而存儲（關鍵字）數據的數據層；
• 更適合文件索引系統；

    B+樹是B樹的一種變形，它把全部的衛星數據都存儲在葉節點中，內部節點只存放關鍵字和孩子指針，所以最大化了內部節點的分支因子，因此B+樹的遍歷也更加高效(B樹須要以中序的方式遍歷節點，而B+樹只需把全部葉子節點串成鏈表就能夠從頭至尾遍歷)。

• 前序-先遍歷根節點，再處理左右節點；
• 中序-先遍歷左節點，而後處理根節點，最後處理右節點；
• 後序-先遍歷左右節點，而後處理根節點。

    圖中的指針是單向，實際上還有孩子節點指向父節點的指針，應該是雙向的。

 

B+樹的插入操做

4、B*樹

是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增長指向兄弟的指針；

    B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少爲(2/3)*M，即塊的最低使用率爲2/3（代替B+樹的1/2）；

    B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的數據複製到新結點，最後在父結點中增長新結點的指針；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，因此它不須要指向兄弟的指針；

    B*樹的分裂：當一個結點滿時，若是它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（由於兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；若是兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增長新結點，並各複製1/3的數據到新結點，最後在父結點增長新結點的指針；

    因此，B*樹分配新結點的機率比B+樹要低，空間使用率更高；

 

小結

1. BST樹：二叉樹，每一個結點只存儲一個關鍵字，等於則命中，小於走左結點，大於走右結點；
2. B樹：多路搜索樹，每一個結點存儲M/2到M個關鍵字，非葉子結點存儲指向關鍵字範圍的子結點；全部關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點能夠命中；
3. B+樹：在B-樹基礎上，爲葉子結點增長鏈表指針，全部關鍵字都在葉子結點中出現，非葉子結點做爲葉子結點的索引；B+樹老是到葉子結點才命中；
4. B*樹：在B+樹基礎上，爲非葉子結點也增長鏈表指針，將結點的最低利用率從1/2提升到2/3；

 

參考資料：

http://www.cnblogs.com/oldhorse/archive/2009/11/16/1604009.html

http://www.cnblogs.com/gaochundong/p/btree_and_bplustree.html#btree_node_relationship

http://www.jianshu.com/p/6f68d3c118d6

http://blog.jobbole.com/86594/

http://www.ruzuojun.com/topic/420.html

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6530142/