整數拆分 —— 牛客網

目錄

• 題目描述
• 輸入描述
• 輸出描述
• 示例
• 思路
• 實現
  • 實現一： 遞歸
  • 實現二：動態規劃（數組）

題目描述

一個整數總能夠拆分爲2的冪的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 總共有六種不一樣的拆分方式。 再好比：4能夠拆分紅：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。 用f(n)表示n的不一樣拆分的種數，例如f(7)=6. 要求編寫程序，讀入n(不超過1000000)，輸出f(n)%1000000000。

輸入描述

每組輸入包括一個整數：N(1<=N<=1000000)。

輸出描述

對於每組數據，輸出f(n)%1000000000。

示例

輸入

7

輸出

6

思路

假設結果爲f(n)，有遞推公式f(2m+1)=f(2m)，f(2m)=f(2m-1)+f(m)
證實以下：

證實的要點是考慮劃分中是否有1。
記:
A(n) = n的全部劃分組成的集合，
B(n) = n的全部含有1的劃分組成的集合，
C(n) = n的全部不含1的劃分組成的集合，
則有: A(n) = B(n)∪C(n)。
又記:
f(n) = A(n)中元素的個數，
g(n) = B(n)中元素的個數，
h(n) = C(n)中元素的個數，
易知: f(n) = g(n) + h(n)。
以上記號的具體例子見文末。
咱們先來證實: f(2m + 1) = f(2m)，
首先，2m + 1 的每一個劃分中至少有一個1，去掉這個1，就獲得 2m 的一個劃分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每一個劃分加上個1，就構成了 2m + 1 的一個劃分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
綜上，f(2m + 1) = f(2m)。
接着咱們要證實: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
把 B(2m) 中的劃分中的1去掉一個，就獲得 A(2m - 1) 中的一個劃分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的劃分加上一個1，就獲得 B(2m) 中的一個劃分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
綜上，g(2m) = f(2m - 1)。
把 C(2m) 中的劃分的元素都除以2，就獲得 A(m) 中的一個劃分，故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的劃分的元素都乘2，就獲得 C(2m) 中的一個劃分，故 f(m)≤h(2m)。
綜上，h(2m) = f(m)。
因此: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。
連接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/376537f4609a49d296901db5139639ec
來源：牛客網

實現

實現一： 遞歸

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int recursion(int n)
{
    if(n <= 1) return 1;
    if(n%2 == 0) return recursion(n-1)+recursion(n/2);
    return recursion(n-1);
}
int main()
{
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        cout << recursion(n);
    }
    return 0;
}

遞歸實現會超時。

實現二：動態規劃（數組）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        int dp[n+1];
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for(int i = 2;i <= n;i++)
        {
            if(i%2 == 0) dp[i] = (dp[i-1]+dp[i/2])%1000000000;
            else dp[i] = dp[i-1]%1000000000; 
        }
        cout << dp[n] << endl;
    }
    return 0;
}