NP-Completeness理解

今天大年初一，哪裏也沒去，在家裏從新看了下IOA的NP問題。感受看明白了。

首先定義下：

所謂P問題是指全部能在多項式複雜度解決的問題，好比排序算法，n*n複雜度解決問題。

有些問題目前沒有多項式複雜度的解決方案，可是若是你給我一個解決方案，我能夠在多項式時間內驗證該算法是否正確。好比說bool表達式的可知足性問題，給我一個表達式，雖然我不能在多項式時間內判斷它是否可知足，可是若是你給我一個答案，我能判斷這個答案的正確性。這類問題就是NP問題。

P屬於NP。這是很明顯的。

那麼P是否等於NP呢？目前看，不等於。由於存在一類NP徹底的問題。

NP徹底問題是NP中的一類問題，若是知足如下兩個條件，那麼咱們說L是NP徹底的：L是NP問題；全部的NP問題均可以「多項式歸結」爲L。

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先定義什麼是問題？問題就是一個映射，把「instance」（輸入）映射到「solution」（輸出）。

各類問題的輸出千差萬別，不便於討論，統一下，都輸出true和false。這就是斷定型問題，decision problem。其餘那些尋找最優解的叫優化類問題。全部優化類問題均可以轉變成斷定型問題。

接着是語言。既然一個問題P輸出都是true或者false，若是集合L中的全部instance都讓P輸出true，那麼咱們說P 接受L。這裏有一個很重要的轉變，就是把一個抽象的問題，變成了一個instance的集合。兩個問題是難以相等或者轉換的，可是兩個集合是能夠的，mapping。基於這個mapping就能夠定義多項式歸結。

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什麼是多項式歸結？也有兩層含義：

給定兩個算法，A和B。x是A輸入，f是一個映射函數，能把x映射成B的輸入。含義1：A(x)==B(f(x))；含義2：f(x)是多項式複雜度。

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而後咱們要尋找一個NP徹底問題，這個問題就是Circuit-SAT。它的意思是給任意一個集成電路，判斷該電路是否會輸出1.咱們知道集成電路都是有若干管腳做爲輸入，幾個管家做爲輸出的。這裏簡單起見，只有一個輸出。若是咱們發現一個電路只能輸出0，那麼咱們可能發現了一個bug，或者簡單的把它替換成常數。

怎麼證實呢，從定義出發，先證實它是NP的，再證實全部的NP問題均可以歸結到它（任意一個算法的輸入實例均可以在多項式時間裏變成一個集成電路）。

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它是NP的，就是要證實存在算法A，給輸入x（某個集成電路），y（某種輸入方式），能夠判斷y是否知足x。這個複雜度是線性的，知足多項式複雜度的要求。

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全部的NP問題都能歸結到Circuit-SAT的問題嗎？這又要解決兩個問題：

1. 是否存在一個映射函數F，使得任意算法的輸入x都能變成等價的一個集成電路C；

2.F是不是多項式的複雜度；

先看第一個問題，可否找到這樣的F呢。下面的描述就是爲了構造這個F。假定咱們要把算法W歸結到Circuit-SAT。W算法的驗證算法是A，給定x和y，能夠判斷輸入爲x時，y是不是一個正確的答案。舉個例子，W是要判斷圖中是否存在長度爲K的路徑，x表明圖的數據結果，y表明最長路徑的各條邊，那麼A是驗證的算法。

若是咱們把系統內存當成一個變量，那麼每條指令的執行都會將一個內存快照（conf）變成另一個（conf），咱們能夠認爲這個映射是一個circuit完成的。

因爲A(x,y)是多項式複雜度，因此conf的個數是多項式個。咱們把這全部的集成電路組合起來，造成一個新的集成電路C。這樣咱們就把x變成了C。

也就是說，對於W而言，驗證算法A(x,y)=1，當且僅當B(C,y)=1.其中B是驗證集成電路的可知足性算法。

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F已經找到了，那麼F是不是多項式複雜度的呢？首先x是多項式的，內存大小是多項式的，集成電路個數等於執行的指令數，也是多項式的，多項式組合在一塊兒，仍是多項式的。

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這就證實了全部NP問題都能歸結到circuit-sat問題。

其實這裏還有一個language的問題，我貌似還沒看懂。

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如何判斷一個問題是NP-hard的呢，若是一個NP徹底的問題可以歸結到該問題，（無論他是否是NP問題），它都是NP-hard。

因爲咱們已經找到了一個NP徹底問題circuit-sat，對於目標問題W，只須要把circuit-sat問題歸結到W的輸入便可證實W是NP-hard的問題。這就很容易證實不少算法都是NP的。好比說Boolean表達式的可知足性。後續將會繼續討論。

 

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