【bzoj4712】洪水 樹鏈剖分+線段樹維護樹形動態dp

題目描述

給出一棵樹，點有點權。屢次增長某個點的點權，並在某一棵子樹中詢問：選出若干個節點，使得每一個葉子節點到根節點的路徑上至少有一個節點被選擇，求選出的點的點權和的最小值。

輸入

輸入文件第一行包含一個數n，表示樹的大小。

接下來一行包含n個數，表示第i個點的權值。

接下來n-1行每行包含兩個數fr，to。表示書中有一條邊（fr，to）。

接下來一行一個整數，表示操做的個數。

接下來m行每行表示一個操做，若該行第一個數爲Q，則表示詢問操做，後面跟一個參數x，表示對應子樹的根；若

爲C，則表示修改操做，後面接兩個參數x，to，表示將點x的權值加上to。

n<=200000，保證任意to都爲非負數

輸出

對於每次詢問操做，輸出對應的答案，答案之間用換行隔開。

樣例輸入

4
4 3 2 1
1 2
1 3
4 2
4
Q 1
Q 2
C 4 10
Q 1

樣例輸出

3
1
4

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題解

樹鏈剖分+線段樹維護樹形動態dp

關於動態dp能夠參考陳俊錕的PPT。

若是dp是靜態的，設 $f[i]$ 表示以 $i$ 爲根的子樹知足條件的最小代價，那麼有：$f[i]=\text{min}(v[i],\sum\limits_{i\to j}f[j])$ 。

當這個dp在序列上進行時，咱們比較容易使用線段樹維護序列動態dp。

當這個dp在樹上進行時，考慮將這棵樹輕重鏈剖分，轉化爲序列問題。

設 $y$ 爲 $x$ 的重兒子，全部 $x$ 的輕兒子的 $f$ 值之和爲 $g[x]$ ，那麼有：$f[x]=\text{min}(v[x],f[y]+g[x])$ 。

這個形式相似於最小連續子段和中的最小前綴和。使用線段樹維護最小前綴和（在重鏈這一段區間的某位置選出一個點使得總代價 $前面的g+當前的v$ 最小）及總和（這段區間都不選，全部的 $g$ 之和）。線段樹的葉子節點有：最小前綴和爲 $v$ ，總和爲 $g$ 。

當修改時，首先影響到的時修改節點所在的重鏈，咱們把對應節點的 $v$ 修改；而後會影響鏈頂的 $f$ 值，影響輕鏈的轉移，再不斷把鏈頂的父親節點的 $g$ 修改。

當查詢時，直接查詢所求點所在重鏈上，該點到鏈底在線段樹上的最小前綴和即爲答案。

時間複雜度：修改時爲 $O(\log^2n)$ ，查詢時爲 $O(\log n)$ 。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 200010
#define lson l , mid , x << 1
#define rson mid + 1 , r , x << 1 | 1
using namespace std;
typedef long long ll;
struct data
{
	ll sum , ls;
	data() {}
	data(ll g , ll v) {sum = g , ls = v;}
	inline data operator+(const data &a)const
	{
		return data(sum + a.sum , min(sum + a.ls , ls));
	}
}a[N << 2] , w[N];
int head[N] , to[N << 1] , next[N << 1] , cnt , fa[N] , si[N] , bl[N] , end[N] , pos[N] , tot , n;
ll v[N] , f[N] , g[N];
char str[5];
inline void add(int x , int y)
{
	to[++cnt] = y , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
void dfs1(int x)
{
	int i;
	si[x] = 1;
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(to[i] != fa[x])
			fa[to[i]] = x , dfs1(to[i]) , si[x] += si[to[i]];
}
void dfs2(int x , int c)
{
	int i , k = 0;
	bl[x] = c , pos[x] = ++tot , end[x] = x , f[x] = v[x];
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(to[i] != fa[x] && si[to[i]] > si[k])
			k = to[i];
	if(k)
	{
		dfs2(k , c) , end[x] = end[k];
		for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
			if(to[i] != fa[x] && to[i] != k)
				dfs2(to[i] , to[i]) , g[x] += f[to[i]];
		f[x] = min(f[x] , f[k] + g[x]);
	}
	w[pos[x]] = data(g[x] , v[x]);
}
inline void pushup(int x)
{
	a[x] = a[x << 1] + a[x << 1 | 1];
}
void build(int l , int r , int x)
{
	if(l == r)
	{
		a[x] = w[l];
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(lson) , build(rson);
	pushup(x);
}
void updatev(int p , ll v , int l , int r , int x)
{
	if(l == r)
	{
		a[x].ls += v;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid) updatev(p , v , lson);
	else updatev(p , v , rson);
	pushup(x);
}
void updateg(int p , ll g , int l , int r , int x)
{
	if(l == r)
	{
		a[x].sum += g;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid) updateg(p , g , lson);
	else updateg(p , g , rson);
	pushup(x);
}
data query(int b , int e , int l , int r , int x)
{
	if(b <= l && r <= e) return a[x];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(e <= mid) return query(b , e , lson);
	else if(b > mid) return query(b , e , rson);
	else return query(b , e , lson) + query(b , e , rson);
}
inline void modify(int x , ll v)
{
	int y = x;
	ll t;
	while(x)
	{
		t = query(pos[bl[x]] , pos[end[x]] , 1 , n , 1).ls;
		if(x == y) updatev(pos[x] , v , 1 , n , 1);
		else updateg(pos[x] , v , 1 , n , 1);
		v = query(pos[bl[x]] , pos[end[x]] , 1 , n , 1).ls - t , x = fa[bl[x]];
	}
}
int main()
{
	int m , i , x , y;
	ll z;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lld" , &v[i]);
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) scanf("%d%d" , &x , &y) , add(x , y) , add(y , x);
	dfs1(1) , dfs2(1 , 1);
	build(1 , n , 1);
	scanf("%d" , &m);
	while(m -- )
	{
		scanf("%s%d" , str , &x);
		if(str[0] == 'C') scanf("%lld" , &z) , modify(x , z);
		else printf("%lld\n" , query(pos[x] , pos[end[x]] , 1 , n , 1).ls);
	}
	return 0;
}