基礎數論記錄

\(\mathfrak{Computers\ are\ fast,\ but\ not\ infinitely\ fast.}\)

這篇數論整理參考了某博客園大爺在2018-07-05撰寫的博客《基礎數論複習》。ui

費馬小定理


對於質數 \(p\) 和任何整數 \(a\) ,有 \(a^p\equiv a\pmod{p}\)spa

反之,若知足 \(a^p\equiv a\pmod{p}\)\(p\) 有很大機率是質數。博客

將兩邊同時約去一個 \(a\) ,則有 \(a^{p-1}\equiv1\pmod{p}\)it

.ast

二次探測定理


若是 \(p\) 是奇素數,則 \(x^2≡1\pmod{p}\) 的解爲 \(x≡1\)\(x\equiv p-1\pmod{p}\)class

這是很容易證實的:基礎

\[\begin{array}{}x^2 \equiv 1 \pmod p \\x^2 -1 \equiv 0 \pmod p \\(x-1) (x+1)\equiv 0 \pmod p\end{array} \]

\(\because p\) 爲奇素數,有且僅有 \(1,p\) 兩個因子,
\(\therefore\) 只有兩解\(x \equiv 1\)\(x \equiv p - 1 \pmod p\)date

.gc

生日悖論


在一個班級裏,假設有\(60\)人,全部人生日不一樣機率是多少?di

依次按人考慮,第一我的有 \(1\) 的機率,第二我的要與第一我的不一樣就是 \(1-\frac{1}{365}\) ,第三我的與前兩人不一樣,那麼就是 \(1-\frac{2}{365}\) 。那麼第 \(i\) 我的就是 \(1-\frac{i}{365}\)

那麼很明顯,咱們能夠推出:

\[\displaystyle \prod_{i=1}^{n} (1 - \frac{i-1}{365}) = \prod _{i=0}^{n-1}\frac{365-i}{365}=\frac{365^{\underline{n}}}{365^n} \]

設咱們代入 \(60\) 進行計算,則機率等於 \(0.0058\) ,也就是說基本上不可能發生。

由於和大衆的常識有些違背,因此稱做生日悖論。

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樸素歐幾里得


\(\gcd(a,b) = \gcd(b, a \bmod b)\)

對,就這個。沒了?證實:假設 \(a=kb+r\) ,有$ r = a \bmod b$ 。不妨設 \(d\)\(a\)\(b\) 的一個任意一個公約數,則有 \(a \equiv b \equiv 0 \pmod d\)

因爲同餘的性質 \(a-kb \equiv r \equiv 0 \pmod d\) 所以 \(d\)\(b\)\(a\mod b\) 的公約數。

對於 \(a,b\) 有負數的狀況,咱們須要將他們其中一個負數加上另一個數直到非負。(因爲前面樸素歐幾里得定理是不會影響的)兩個負數,直接將整個式子反號,而後放到 \(c\) 上就好了。


Will Update.

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