基礎數論記錄

\(\mathfrak{Computers\ are\ fast,\ but\ not\ infinitely\ fast.}\)

這篇數論整理參考了某博客園大爺在2018-07-05撰寫的博客《基礎數論複習》。

費馬小定理

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對於質數 \(p\) 和任何整數 \(a\) ，有 \(a^p\equiv a\pmod{p}\) 。

反之，若知足 \(a^p\equiv a\pmod{p}\) ，\(p\) 有很大機率是質數。

將兩邊同時約去一個 \(a\) ，則有 \(a^{p-1}\equiv1\pmod{p}\) 。

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二次探測定理

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若是 \(p\) 是奇素數，則 \(x^2≡1\pmod{p}\) 的解爲 \(x≡1\) 或 \(x\equiv p-1\pmod{p}\) 。

這是很容易證實的：

\[\begin{array}{}x^2 \equiv 1 \pmod p \\x^2 -1 \equiv 0 \pmod p \\(x-1) (x+1)\equiv 0 \pmod p\end{array} \]

又\(\because p\) 爲奇素數，有且僅有 \(1,p\) 兩個因子，
\(\therefore\) 只有兩解\(x \equiv 1\) 或 \(x \equiv p - 1 \pmod p\) 。

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生日悖論

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在一個班級裏，假設有\(60\)人，全部人生日不一樣機率是多少？

依次按人考慮，第一我的有 \(1\) 的機率，第二我的要與第一我的不一樣就是 \(1-\frac{1}{365}\) ，第三我的與前兩人不一樣，那麼就是 \(1-\frac{2}{365}\) 。那麼第 \(i\) 我的就是 \(1-\frac{i}{365}\) 。

那麼很明顯，咱們能夠推出：

\[\displaystyle \prod_{i=1}^{n} (1 - \frac{i-1}{365}) = \prod _{i=0}^{n-1}\frac{365-i}{365}=\frac{365^{\underline{n}}}{365^n} \]

設咱們代入 \(60\) 進行計算，則機率等於 \(0.0058\) ，也就是說基本上不可能發生。

由於和大衆的常識有些違背，因此稱做生日悖論。

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樸素歐幾里得

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\(\gcd(a,b) = \gcd(b, a \bmod b)\)。

對，就這個。沒了？證實：假設 \(a=kb+r\) ，有$ r = a \bmod b$ 。不妨設 \(d\) 爲 \(a\) 和 \(b\) 的一個任意一個公約數，則有 \(a \equiv b \equiv 0 \pmod d\) 。

因爲同餘的性質 \(a-kb \equiv r \equiv 0 \pmod d\) 所以 \(d\) 是 \(b\) 和 \(a\mod b\) 的公約數。

對於 \(a,b\) 有負數的狀況，咱們須要將他們其中一個負數加上另一個數直到非負。（因爲前面樸素歐幾里得定理是不會影響的）兩個負數，直接將整個式子反號，而後放到 \(c\) 上就好了。

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Will Update.