你身邊的數學 - Birthday Problem

起源

不知道你們有沒有這個習慣，每當新認識一位 志 (我) 同 (想) 道 (追) 合 (你) 的朋友時，都會了解對方的 生日， 若是恰巧與本身同一天生日的話，會以爲這是 上天註定的緣分，換言之，你這個朋友我 交 (追) 定了。

說實話，筆者從小到大也沒有認識與我同一天生日的朋友 ( 多是我比較孤僻 )，這個機率也很是容易算，兩我的生日同一天的機率就是三百六十五分之一嘛。

話說有一天我走在馬路上，在思考着我爲何朋友這麼少時，一道數學題閃過個人腦海......

至少要有多少個朋友才能保證裏面有 50% 機率存在兩個相同生日的人呢？

解題

終於到了激動人心的解題環節，相信你們都和我同樣興奮。

那麼這道題要怎麼解呢？

思考

由於 至少有兩個朋友同一天生日的機率 = 100% - 全部朋友生日都不相同的機率

因此其實咱們能夠將題目稍微轉變一下： 至少要多少人才能保證裏面有 50% 機率全部人生日都不相同？

（接下來的內容可能會引發不適，讀者可根據自身狀況施放段落跳躍技能）

計算

計算過程以下：

其中 P 爲機率，n = 365，k 表明咱們須要的答案、即人數。

過程講解

• 第一行咱們列出了 k 我的中全部人生日都不相同的機率表達式，
• 第二行咱們首先等式兩邊取 對數函數、而後取 log(1+x) 關於 x=0 的泰勒展開式的第一項 ( 後面項量太小可忽略 )
• 第三行咱們求得 k 與 n 的 最終關係式

最後咱們代入 n = 365 ，便可得出 k = 22.49

總結

也就是說，假設咱們有 23 個朋友，有一半的機率他們中間至少有 2 我的同一天生日~

但願你們能從本篇文章有所收穫~

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