五大經常使用算法之三：貪心算法

1、基本概念：

     所謂貪心算法是指，在對問題求解時，老是作出在當前看來是最好的選擇。也就是說，不從總體最優上加以考慮，他所作出的僅是在某種意義上的局部最優解。

     貪心算法沒有固定的算法框架，算法設計的關鍵是貪心策略的選擇。必須注意的是，貪心算法不是對全部問題都能獲得總體最優解，選擇的貪心策略必須具有無後效性，即某個狀態之後的過程不會影響之前的狀態，只與當前狀態有關。

     因此對所採用的貪心策略必定要仔細分析其是否知足無後效性。

2、貪心算法的基本思路：

    1.創建數學模型來描述問題。

    2.把求解的問題分紅若干個子問題。

    3.對每一子問題求解，獲得子問題的局部最優解。

    4.把子問題的解局部最優解合成原來解問題的一個解。

 

3、貪心算法適用的問題

      貪心策略適用的前提是：局部最優策略能致使產生全局最優解。

      實際上，貪心算法適用的狀況不多。通常，對一個問題分析是否適用於貪心算法，能夠先選擇該問題下的幾個實際數據進行分析，就可作出判斷。

4、貪心算法的實現框架

    從問題的某一初始解出發；

    while （能朝給定總目標前進一步）

    { 

          利用可行的決策，求出可行解的一個解元素；

    }

    由全部解元素組合成問題的一個可行解；

  

5、貪心策略的選擇

     由於用貪心算法只能經過解局部最優解的策略來達到全局最優解，所以，必定要注意判斷問題是否適合採用貪心算法策略，找到的解是否必定是問題的最優解。

 

6、例題分析

    下面是一個能夠試用貪心算法解的題目，貪心解的確不錯，惋惜不是最優解。

    [揹包問題]有一個揹包，揹包容量是M=150。有7個物品，物品能夠分割成任意大小。

    要求儘量讓裝入揹包中的物品總價值最大，但不能超過總容量。

    物品 A B C D E F G

    重量 35 30 60 50 40 10 25

    價值 10 40 30 50 35 40 30

    分析：

    目標函數： ∑pi最大

    約束條件是裝入的物品總重量不超過揹包容量：∑wi<=M( M=150)

    （1）根據貪心的策略，每次挑選價值最大的物品裝入揹包，獲得的結果是否最優？

    （2）每次挑選所佔重量最小的物品裝入是否能獲得最優解？

    （3）每次選取單位重量價值最大的物品，成爲解本題的策略。

    值得注意的是，貪心算法並非徹底不可使用，貪心策略一旦通過證實成立後，它就是一種高效的算法。

    貪心算法仍是很常見的算法之一，這是因爲它簡單易行，構造貪心策略不是很困難。

    惋惜的是，它須要證實後才能真正運用到題目的算法中。

    通常來講，貪心算法的證實圍繞着：整個問題的最優解必定由在貪心策略中存在的子問題的最優解得來的。

    對於例題中的3種貪心策略，都是沒法成立（沒法被證實）的，解釋以下：

    （1）貪心策略：選取價值最大者。反例：

    W=30

    物品：A B C

    重量：28 12 12

    價值：30 20 20

    根據策略，首先選取物品A，接下來就沒法再選取了，但是，選取B、C則更好。

    （2）貪心策略：選取重量最小。它的反例與第一種策略的反例差很少。

    （3）貪心策略：選取單位重量價值最大的物品。反例：

    W=30

    物品：A B C

    重量：28 20 10

    價值：28 20 10

    根據策略，三種物品單位重量價值同樣，程序沒法依據現有策略做出判斷，若是選擇A，則答案錯誤。