FMT 與 子集(逆)卷積

本文參考了 Dance of Faith 大佬的博客

咱們定義集合並卷積
\[ h_{S} = \sum_{L \subseteq S}^{} \sum_{R \subseteq S}^{} [L \cup R = S] f_{L} * g_{R} \]

最暴力的時候只能 \(O(4^n)\) 完成，進行 一些優化 能夠在 \(O(3^n)\) 內完成，固然咱們能夠在 \(O(n 2^n)\) 利用 \(FMT\) 或者 \(FWT\) 內快速處理。

\(FMT\) 原理更好理解，就介紹此種方式。

具體來講，相似與 \(FFT\) 咱們把 \(f,g\) 求點值，而後點值相乘後再插值變化回去。由於要快速實現這個過程，咱們能夠考慮利用 快速莫比烏斯變換 和 快速莫比烏斯反演 實現。

定義

定義 \(f\) 的莫比烏斯變換 \(\hat{f}\) ，知足 \(\hat{f_S} = \sum_{T \subseteq S} f_T\) 。（也就是 \(\hat{f}\) 是原來函數 \(f\) 的子集和）

定義 \(\hat{f}\) 的莫比烏斯反演 \(f\) ，利用容斥原理能夠獲得 \(f_S = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|S| - |T|} f_{T}\) 。

考慮爲何這個形式知足集合並卷積。
\[ h_{S} = \sum_{L \subseteq S}^{} \sum_{R \subseteq S}^{} [L \cup R = S] f_{L} * g_{R} \]
左右同時作莫比烏斯變換。
\[ \begin{aligned} \hat{h_{S}} &= \sum_{T \subseteq S} \sum_{L \subseteq T} \sum_{R \subseteq T} [L \cup R = T] f_{L} * g_{R}\\ &= \sum_{L \subseteq S} \sum_{R \subseteq S} [L \cup R \subseteq S] f_{L} * g_{R} \end{aligned} \]
因爲 \([L \cup R \subseteq S] = [L \subseteq S][R \subseteq S]\) ，也就有
\[ \begin{aligned} \hat{h_{S}} &= \sum_{L \subseteq S} \sum_{R \subseteq S} f_{L} * g_{R}\\ &= (\sum_{L \subseteq S}f_L)(\sum_{L \subseteq S}g_R)\\ &=\hat{f_L} * \hat{g_R} \end{aligned} \]
證畢。

快速變換與反演

原理講解

上面那兩個集合和咱們暴力作是 \(O(3^n)\) 的，能夠進行優化。

考慮按 集合大小 分層遞推。

令 \(\hat{f_{S}}^{(i)}\) 爲 \(\sum_{T \subseteq S} [(S - T) \subseteq \{0, 1, 2, ..., i\}] f_{T}\) ，有 \(\hat{f}_S^{(0)} = f_S\) 。

那麼對於不包含 \(\{i\}\) 的集合 \(S\) ，知足 \(\hat{f_{S}}^{(i)} = \hat{f_{S}}^{(i - 1)}\) ，那麼它的貢獻就是
\[ \hat{f}_{S \cup \{i\}}^{(i)} = \hat{f}_{S}^{(i - 1)} + \hat{f}_{S \cup \{i\}}^{(i - 1)} \]

這樣，遞推 \(n\) 輪後 \(\hat{f}^{(n)}_S\) 就包含全部狀況，即爲所求變換。

對於莫比烏斯反演的話，一樣遞推，不斷減掉就好了。

代碼實現

void FMT(int *f, int opt) {
    for (int j = 0; j < n; ++ j)
        for (int i = 0; i < (1 << n); ++ i) if (i >> j & 1)
            f[i] += opt * f[i ^ (1 << j)];
}

子集卷積

原理講解

咱們定義 \(f\) 與 \(g\) 的子集卷積 \(f * g = h\) 。
\[ h_{S} = \sum_{L \subseteq S}^{} \sum_{R \subseteq S}^{} [L \cup R = S, L \cap R = \varnothing] f_{L} * g_{R} \]

其實就是
\[ h_S = \sum_{T \subseteq S} f_T * g_{S - T} \]

剛剛講的子集並卷積爲什麼不行呢？由於有 \([L \cap R = \varnothing]\) 的這個限制。

如何去掉這個限制呢，咱們多記一維集合大小，也就是 \(f_{i, S}\) 表示有 \(i\) 個元素，集合表示爲 \(S\) 。

顯然當且僅當 \(i = |S|\) 時是正確的，咱們先作 \(FMT\) 。

因此遞推的時候就是 \(h_{i + j, S} = \sum_{i, j} f_{i, S} * g_{j, S}\) ，實際上是個多項式乘法。

因爲前面對於 \(n\) 個函數進行 \(FMT\) 須要 \(O(n^2 2^n)\) 的複雜度。

這裏 \(FFT\) 也優化不了複雜度（並且因爲常數會慢不少），那麼直接暴力卷積就行了。

代碼實現

for (int i = 0; i <= n; ++ i) {
    for (int j = 0; i + j <= n; ++ j)
        for (int S = 0; S < (1 << n); ++ S)
            h[i + j][S] += f[i][S] * g[j][S];
}

最後咱們要求 \(S\) 的子集卷積的結果，直接用 \(h_{\text{bitcount(S)}, S}\) \(IFMT\) 的。

子集逆卷積

原理講解

咱們有時候須要作子集卷積意義下的除法或者相關運算。

好比對於兩個函數 \(f * g = h\) ，咱們已知 \(g, h\) 要求 \(f\) 。

那麼就是 \(f = h * g^{-1}\) 。其實就是要求 \(g^{-1}\) 在子集卷積意義下的結果。

一樣咱們只須要考慮 \(FMT\) 以後的結果。

因爲對於每一位咱們作的是多項式下的乘法。其實就是對於每一位求的 \(g^{-1}\) 就是多項式求逆後的結果。

一樣對於別的運算也是多項式後的結果。

可是寫那個 \(O(n \log n)\) 的倍增多項式求逆顯然十分地麻煩，能夠考慮 \(O(n ^ 2)\) 遞推。

令 \(g^{-1} = t\) 假設咱們求出 \(t_{0, 1, \cdots, i - 1}\) ，要求 \(t_i\) 。\((t_0 = g_0^{-1})\) 。

咱們能夠把 \(g_i\) 減去 \(t\) 和 \(g\) 前 \(i - 1\) 項作卷積後的第 \(i\) 項的值，就是所求的 \(t_i\) 。

這樣就能夠解決啦qwq

代碼

inline void Inv(int *f) {
    tmp[0] = fpm(f[0], Mod - 2);
    for (int i = 0; i <= n; ++ i) {
        inv[i] = tmp[i];
        for (int j = 0; i + j <= n; ++ j)
            tmp[i + j] -= inv[i] * f[j];
    }
}