求解高階微分方程

目錄

• ODE45 求解高階微分方程
  • ode45是什麼
  • ode45能幹什麼
  • ode45怎麼用
    • 語法
    • 高階 ODE通用解法
    • Demo1
    • 問題來了
  • 結果圖展現

ODE45 求解高階微分方程

最近困惑我一週的高階微分方程求解，特意來總結一下，給有須要的同志們！

（特此說明，官網有紕漏， 存在問題， 須要修改， 我最後會說哪裏出問題了）

ode45是什麼

​ 全部 MATLAB ODE 求解器均可以解算 y′=f(t,y) 形式的方程組，或涉及質量矩陣 M(t,y)y′=f(t,y) 的問題。求解器都使用相似的語法。ode45 是一個通用型 ODE 求解器，是您解算大多數問題時的首選。可是，對於剛性問題或須要較高準確性的問題，其餘 ODE 求解器可能更適合。

ode45能幹什麼

​ 求解幾乎能遇到的大多數微分方程， 一階，二階，三階甚至多階微分方程

ode45怎麼用

語法

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
[t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options)

只知道語法遠遠不夠， 由於裏面各個項都不知道是什麼，先簡要介紹，下面給個demo：

odefun就是使用代換法，將你高階方程轉化爲一階方程對應的函數；
tspan就是微分的解範圍， 儘可能縮小， 否則電腦要爆炸；

y0是你能計算的方程解；

高階 ODE通用解法

MATLAB ODE 求解器僅可解算一階方程。您必須使用常規代換法，將高階 ODE 重寫爲等效的一階方程組

y1=y

y2=y′

y3=y′′ 

這些代換將生成一個包含 n 個一階方程的方程組

y′1=y2

y′2=y3          

y′n=f(t,y1,y2,...,y**n*).

Demo1

考慮三階 ODE

y′′′−y′′y+1=0.

使用代換法

y1=y

y2=y′

y3=y′′

生成等效的一階方程組

y′1=y2y′2=y3y′3=y1 y*3−1.

此方程組的代碼則爲

function dydt = f(t,y)
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = y(3);
dydt(3) = y(1)*y(3)-1;

問題來了

上面demo這樣定義函數不能用； 正確作法你得先定義向量解， 畢竟高階方程化爲一階之後， 解應該是以向量的形式出現的； 因此， 這一步很是關鍵；

則以上方程組代碼應該修改成：

function dydt = f(t,y)
dy = zeros(3,1);  %記住這裏要添加哦； 
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = y(3);
dydt(3) = y(1)*y(3)-1;

行吧， 其他的計算能夠去參考官網了， 能夠很方便的得到方程的各個解哦；

matlab真的是除了不能生孩子，啥都能幹；

ps： 吐槽一點，matlab太費電了。mac滿電正常續航六個小時以上，跑matlab這個程序半個多小時就會沒電， 因此你們仍是鏈接電源再去跑matlab；

結果圖展現