曼哈頓距離與切比雪夫距離的互化

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曼哈頓距離

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對於兩個點\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，定義他們的曼哈頓距離爲\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)，即兩座標軸分別討論差值再求和。

對於曼哈頓距離相同的點，他們分佈在同一橫縱截距且截距相同的直線上。

圖中每個正方形邊界上的整點到原點的曼哈頓距離相同。

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切比雪夫距離

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對於兩個點\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，定義他們的曼哈頓距離爲\(max\{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}\)，即兩座標軸分別討論差值取最大。

對於切比雪夫距離相同的點，他們分佈在以原點爲中心的正方形邊界上。

圖中每個正方形邊界上的整點到原點的曼哈頓距離相同。

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曼哈頓距離轉切比雪夫距離

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考慮曼哈頓距離的表達式：\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)，其實能夠表示成：

\(\begin{align}max\{x_1-x_2+y_1-y_2,x_1-x_2+y_2-y_1,x_2-x_1+y_1-y_2,x_2-x_1+y_2-y_1\}\end{align}\)

考慮將兩個點變化爲\((x_1+y_1,x_1-y_1),(x_2+y_2,x_2-y_2)\)

那麼變化後兩點的切比雪夫距離爲\(max((|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|,|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|)\)

若原來兩點曼哈頓距離爲\(x_1-x_2+y_1-y_2\)或\(x_2-x_1+y_2-y_1\)時，均可以表示爲\(|(x_1+y_2)-(x_2+y_2)|\)

若原來兩點曼哈頓距離爲\(x_1-x_2+y_2-y_1\)或\(x_2-x_1+y_1-y_2\)時，均可以表示爲\(|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|\)

將每個點\((x,y)\)轉化爲\((x+y,x-y)\)，新座標系下的切比雪夫距離即爲原座標系下曼哈頓距離。

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切比雪夫距離轉曼哈頓距離

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按照剛纔的思路再還原回去便可。

將每個點\((x,y)\)轉化爲\((\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})\)，新座標系下的曼哈頓距離即爲原座標系下切比雪夫距離。

這個轉化通常比較經常使用，曼哈頓距離通常能夠經過排序前綴和的方式下降計算複雜度。

注意到除法若是向下取整可能會使答案不正確，因此考慮先不除以\(2\)，最後求完答案再除以\(2\)也是同樣的，形象的理解能夠說成，曼哈頓座標系是經過切比雪夫座標系旋轉\(45^{\circ}\)後，再縮小到原來的一半獲得的。

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一道例題

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有\(N\)個二位平面上的點，定義每個點到其八連通的點的距離爲\(1\)。

選一個點，使得剩下全部點到該點的距離之和最小，求出這個距離之和。

• \(N\in [0,10^5]\)

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題意即爲求切比雪夫距離之和最小，暴力的作法是\(N^2\)的。

考慮將切比雪夫距離轉化爲曼哈頓距離，咱們將橫縱座標分開排序求前綴和，這樣既可快速求出，以一個點爲中心，其餘點到這個點的曼哈頓距離之和。

具體的作法是將兩個座標分開討論，每次找到當前點在排序後數組的位置\(p\)。

那麼它前面的點座標都小於當前點，累加的答案爲\(p\times x[i]-sum_p\)。

後面的點的座標都大於當前點，反過來累加答案，爲\((sum_n-sum_p)-(n-p)\times x[i]\)

對全部的點都求一遍，取最小值便可，複雜度\(\text O(NlogN)\)。

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100010
#define R register
#define gc getchar
#define inf 900000000000000000
using namespace std;
typedef long long ll;

inline ll rd(){
  ll x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

ll n,ans=inf,x[N],y[N],sx[N],sy[N],sumx[N],sumy[N];

int main(){
  n=rd();
  for(R ll i=1,xx,yy;i<=n;++i){
    xx=rd(); yy=rd();
    sx[i]=x[i]=xx+yy; sy[i]=y[i]=xx-yy;
  }
  sort(sx+1,sx+1+n);
  sort(sy+1,sy+1+n);
  for(R ll i=1;i<=n;++i){
    sumx[i]=sumx[i-1]+sx[i];
    sumy[i]=sumy[i-1]+sy[i];
  }
  for(R ll i=1,res;i<=n;++i){
    ll px=lower_bound(sx+1,sx+1+n,x[i])-sx;
    ll py=lower_bound(sy+1,sy+1+n,y[i])-sy;
    res=px*x[i]-sumx[px]+sumx[n]-sumx[px]-(n-px)*x[i];
    res+=py*y[i]-sumy[py]+sumy[n]-sumy[py]-(n-py)*y[i];
    ans=min(ans,res>>1);
  }
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}