算法詳解之最近公共祖先(LCA)

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概念

首先是最近公共祖先的概念(什麼是最近公共祖先？)：

在一棵沒有環的樹上，每一個節點確定有其父親節點和祖先節點，而最近公共祖先，就是兩個節點在這棵樹上深度最大的公共的祖先節點。

換句話說，就是兩個點在這棵樹上距離最近的公共祖先節點。

因此LCA主要是用來處理當兩個點僅有惟一一條肯定的最短路徑時的路徑。

有人可能會問：那他自己或者其父親節點是否能夠做爲祖先節點呢？

答案是確定的，很簡單，按照人的親戚觀念來講，你的父親也是你的祖先，而LCA還能夠將本身視爲祖先節點。

舉個例子吧，以下圖所示4和5的最近公共祖先是2，5和3的最近公共祖先是1，2和1的最近公共祖先是1。　

這就是最近公共祖先的基本概念了，那麼咱們該如何去求這個最近公共祖先呢？

一般初學者都會想到最簡單粗暴的一個辦法：對於每一個詢問，遍歷全部的點，時間複雜度爲\(O(n*q)\) ，很明顯，n和q通常不會很小。

怎麼辦辦？

LCA其實有不少種解法，這裏介紹幾一個

Tarjan大法好！

什麼是Tarjan(離線)算法呢？顧名思義，就是在一次遍歷中把全部詢問一次性解決，因此其時間複雜度是\(O(n+q)\)。

Tarjan算法的優勢在於相對穩定，時間複雜度也比較居中，也很容易理解。

下面詳細介紹一下Tarjan算法的基本思路：

1. 任選一個點爲根節點，從根節點開始。

2. 遍歷該點u全部子節點v，並標記這些子節點v已被訪問過。

3. 如果v還有子節點，返回2，不然下一步。

4. 合併v到u上。

5. 尋找與當前點u有詢問關係的點v。

6. 如果v已經被訪問過了，則能夠確認u和v的最近公共祖先爲v被合併到的父親節點a。

遍歷的話須要用到dfs來遍歷(相信來看的人都懂吧...)，至於合併，最優化的方式就是利用並查集來合併兩個節點。

• 僞代碼

Tarjan(u)//marge和find爲並查集合並函數和查找函數
{
    for each(u,v)    //訪問全部u子節點v
    {
        Tarjan(v);        //繼續往下遍歷
        marge(u,v);    //合併v到u上
        標記v被訪問過;
    }
    for each(u,e)    //訪問全部和u有詢問關係的e
    {
        若是e被訪問過;
        u,e的最近公共祖先爲find(e);
    }
}

我的感受這樣仍是有不少人不太理解，因此打算模擬一遍給你們看。

假設咱們有一組數據 9個節點 8條邊 聯通狀況以下：

1--2，1--3，2--4，2--5，3--6，5--7，5--8，7--9 即下圖所示的樹

設咱們要查找最近公共祖先的點爲9--8，4--6，7--5，5--3；

設f[]數組爲並查集的父親節點數組，初始化f[i]=i，vis[]數組爲是否訪問過的數組，初始爲0;　

下面開始模擬過程：

取1爲根節點，往下搜索發現有兩個兒子2和3；

先搜2，發現2有兩個兒子4和5，先搜索4，發現4沒有子節點，則尋找與其有關係的點；

發現6與4有關係，可是vis[6]=0，即6還沒被搜過，因此不操做；

發現沒有和4有詢問關係的點了，返回此前一次搜索，更新vis[4]=1；

表示4已經被搜完，更新f[4]=2，繼續搜5，發現5有兩個兒子7和8;

先搜7，發現7有一個子節點9，搜索9，發現沒有子節點，尋找與其有關係的點；

發現8和9有關係，可是vis[8]=0,即8沒被搜到過，因此不操做；

發現沒有和9有詢問關係的點了，返回此前一次搜索，更新vis[9]=1；

表示9已經被搜完，更新f[9]=7，發現7沒有沒被搜過的子節點了，尋找與其有關係的點；

發現5和7有關係，可是vis[5]=0，因此不操做；

發現沒有和7有關係的點了，返回此前一次搜索，更新vis[7]=1；

表示7已經被搜完，更新f[7]=5，繼續搜8，發現8沒有子節點，則尋找與其有關係的點；

發現9與8有關係，此時vis[9]=1，則他們的最近公共祖先爲find(9)=5；

(find(9)的順序爲f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

發現沒有與8有關係的點了，返回此前一次搜索，更新vis[8]=1；

表示8已經被搜完，更新f[8]=5，發現5沒有沒搜過的子節點了，尋找與其有關係的點；

發現7和5有關係，此時vis[7]=1，因此他們的最近公共祖先爲find(7)=5；

(find(7)的順序爲f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

又發現5和3有關係，可是vis[3]=0，因此不操做，此時5的子節點所有搜完了；

返回此前一次搜索，更新vis[5]=1，表示5已經被搜完，更新f[5]=2；

發現2沒有未被搜完的子節點，尋找與其有關係的點；

又發現沒有和2有關係的點，則此前一次搜索，更新vis[2]=1；

表示2已經被搜完，更新f[2]=1，繼續搜3，發現3有一個子節點6；

搜索6，發現6沒有子節點，則尋找與6有關係的點，發現4和6有關係；

此時vis[4]=1，因此它們的最近公共祖先爲find(4)=1;

(find(4)的順序爲f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)

發現沒有與6有關係的點了，返回此前一次搜索，更新vis[6]=1，表示6已經被搜完了；

更新f[6]=3，發現3沒有沒被搜過的子節點了，則尋找與3有關係的點；

發現5和3有關係，此時vis[5]=1，則它們的最近公共祖先爲find(5)=1；

(find(5)的順序爲f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)

發現沒有和3有關係的點了，返回此前一次搜索，更新vis[3]=；

更新f[3]=1，發現1沒有被搜過的子節點也沒有有關係的點，此時能夠退出整個dfs了。

通過此次dfs咱們得出了全部的答案，有沒有以爲很神奇呢？是否對Tarjan算法有更深層次的理解了呢？

參考博文:http://www.javashuo.com/article/p-foyfvsxv-em.html