最近公共祖先（LCA）

一、  概述

 

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指這樣一個問題：在有根樹中，找出某兩個結點u和v最近的公共祖先（另外一種說法，離樹根最遠的公共祖先）。 RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即區間最值查詢，是指這樣一個問題：對於長度爲n的數列A，回答若干詢問RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回數列A中下標在i，j之間的最小/大值。這兩個問題是在實際應用中常常遇到的問題，本文介紹了當前解決這兩種問題的比較高效的算法。

二、  RMQ算法

對於該問題，最容易想到的解決方案是遍歷，複雜度是O(n)。但當數據量很是大且查詢很頻繁時，該算法也許會存在問題。

本節介紹了一種比較高效的在線算法（ST算法）解決這個問題。所謂在線算法，是指用戶每輸入一個查詢便立刻處理一個查詢。該算法通常用較長的時間作預處理，待信息充足之後即可以用較少的時間回答每一個查詢。ST（Sparse Table）算法是一個很是有名的在線處理RMQ問題的算法，它能夠在O(nlogn)時間內進行預處理，而後在O(1)時間內回答每一個查詢。

首先是預處理，用動態規劃（DP）解決。設A[i]是要求區間最值的數列，F[i, j]表示從第i個數起連續2^j個數中的最大值。例如數列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1個數起，長度爲2^0=1的最大值，其實就是3這個數。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……從這裏能夠看出F[i,0]其實就等於A[i]。這樣，DP的狀態、初值都已經有了，剩下的就是狀態轉移方程。咱們把F[i，j]平均分紅兩段（由於f[i，j]必定是偶數個數字），從i到i+2^(j-1)-1爲一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1爲一段(長度都爲2^（j-1）)。用上例說明，當i=1，j=3時就是3,2,4,5 和 6,8,1,2這兩段。F[i，j]就是這兩段的最大值中的最大值。因而咱們獲得了動態規劃方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

而後是查詢。取k=[log2(j-i+1)]，則有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 舉例說明，要求區間[2，8]的最大值，就要把它分紅[2,5]和[5,8]兩個區間，由於這兩個區間的最大值咱們能夠直接由f[2，2]和f[5，2]獲得。

算法僞代碼：

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//初始化   INIT_RMQ   //max[i][j]中存的是重j開始的2^i個數據中的最大值，最小值相似，num中存有數組的值   for i : 1 to n      max[0][i] = num[i]   for i : 1 to log (n)/ log (2)      for j : 1 to (n+1-2^i)         max[i][j] = MAX(max[i-1][j], max[i-1][j+2^(i-1)]   //查詢   RMQ(i, j)   k = log (j-i+1) / log (2)   return MAX(max[k][i], max[k][j-2^k+1])

固然，該問題也能夠用線段樹（也叫區間樹）解決，算法複雜度爲：O(N)~O(logN)，具體可閱讀這篇文章：《數據結構之線段樹》。

三、  LCA算法

對於該問題，最容易想到的算法是分別從節點u和v回溯到根節點，獲取u和v到根節點的路徑P1，P2，其中P1和P2能夠當作兩條單鏈表，這就轉換成常見的一道面試題：【判斷兩個單鏈表是否相交，若是相交，給出相交的第一個點。】。該算法總的複雜度是O（n）（其中n是樹節點個數）。

本節介紹了兩種比較高效的算法解決這個問題，其中一個是在線算法（DFS+ST），另外一個是離線算法（Tarjan算法）。

在線算法DFS+ST描述(思想是：將樹當作一個無向圖，u和v的公共祖先必定在u與v之間的最短路徑上)：

（1）DFS：從樹T的根開始，進行深度優先遍歷（將樹T當作一個無向圖），並記錄下每次到達的頂點。第一個的結點是root(T)，每通過一條邊都記錄它的端點。因爲每條邊剛好通過2次，所以一共記錄了2n-1個結點，用E[1, ... , 2n-1]來表示。

（2）計算R：用R[i]表示E數組中第一個值爲i的元素下標，即若是R[u] < R[v]時，DFS訪問的順序是E[R[u], R[u]+1, …, R[v]]。雖然其中包含u的後代，但深度最小的仍是u與v的公共祖先。

（3）RMQ：當R[u] ≥ R[v]時，LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[v], R[u])；不然LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[u], R[v])，計算RMQ。

因爲RMQ中使用的ST算法是在線算法，因此這個算法也是在線算法。

【舉例說明】

T=<V,E>，其中V={A,B,C,D,E,F,G},E={AB,AC,BD,BE,EF,EG},且A爲樹根。則圖T的DFS結果爲：A->B->D->B->E->F->E->G->E->B->A->C->A，要求D和G的最近公共祖先, 則LCA[T, D, G] = RMQ(L, R[D], R[G])= RMQ(L, 3, 8)，L中第4到7個元素的深度分別爲：1,2,3,3，則深度最小的是B。

離線算法（Tarjan算法）描述：

所謂離線算法，是指首先讀入全部的詢問（求一次LCA叫作一次詢問），而後從新組織查詢處理順序以便獲得更高效的處理方法。Tarjan算法是一個常見的用於解決LCA問題的離線算法，它結合了深度優先遍歷和並查集，整個算法爲線性處理時間。

Tarjan算法是基於並查集的，利用並查集優越的時空複雜度，能夠實現LCA問題的O(n+Q)算法，這裏Q表示詢問 的次數。更多關於並查集的資料，可閱讀這篇文章：《數據結構之並查集》。

同上一個算法同樣，Tarjan算法也要用到深度優先搜索，算法大致流程以下：對於新搜索到的一個結點，首先建立由這個結點構成的集合，再對當前結點的每個子樹進行搜索，每搜索完一棵子樹，則可肯定子樹內的LCA詢問都已解決。其餘的LCA詢問的結果必然在這個子樹以外，這時把子樹所造成的集合與當前結點的集合合併，並將當前結點設爲這個集合的祖先。以後繼續搜索下一棵子樹，直到當前結點的全部子樹搜索完。這時把當前結點也設爲已被檢查過的，同時能夠處理有關當前結點的LCA詢問，若是有一個從當前結點到結點v的詢問，且v已被檢查過，則因爲進行的是深度優先搜索，當前結點與v的最近公共祖先必定尚未被檢查，而這個最近公共祖先的包涵v的子樹必定已經搜索過了，那麼這個最近公共祖先必定是v所在集合的祖先。
算法僞代碼：

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LCA(u) { Make-Set(u) ancestor[Find-Set(u)]=u 對於u的每個孩子v { LCA(v) Union(u,v) ancestor[Find-Set(u)]=u } checked[u]= true 對於每一個(u,v)屬於P // (u,v)是被詢問的點對 { if checked[v]= true   then { 回答u和v的最近公共祖先爲ancestor[Find-Set(v)] }        } }

【舉例說明】

根據實現算法能夠看出，只有當某一棵子樹所有遍歷處理完成後，纔將該子樹的根節點標記爲黑色（初始化是白色），假設程序按上面的樹形結構進行遍歷，首先從節點1開始，而後遞歸處理根爲2的子樹，當子樹2處理完畢後，節點2， 5， 6均爲黑色；接着要回溯處理3子樹，首先被染黑的是節點7（由於節點7做爲葉子不用深搜，直接處理），接着節點7就會查看全部詢問(7, x)的節點對，假如存在(7, 5)，由於節點5已經被染黑，因此就能夠判定(7, 5)的最近公共祖先就是find(5).ancestor，即節點1（由於2子樹處理完畢後，子樹2和節點1進行了union，find(5)返回了合併後的樹的根1，此時樹根的ancestor的值就是1）。有人會問若是沒有(7, 5)，而是有(5, 7)詢問對怎麼處理呢? 咱們能夠在程序初始化的時候作個技巧，將詢問對(a, b)和(b, a)所有存儲，這樣就能保證完整性。

四、  總結

LCA和RMQ問題是兩個很是基本的問題，不少複雜的問題均可以轉化這兩個問題解決，這兩個問題在ACM編程競賽中遇到的尤爲多。這兩個問題的解決方法中用到不少很是基本的數據結構和算法，包括並查集，深度優先遍歷，動態規劃等。

五、  參考資料

（1）       判斷兩個鏈表是否相交

（2）       博文《LCA問題（含RMQ的ST算法）》

（3）       博文《Range Minimum Query and Lowest Common Ancestor》

（4）       博文《LCA問題（最近公共祖先問題）+ RMQ問題》

（5）       博文《最近公共祖先(LCA)的Tarjan算法》

（6）       博文《LCA 最近公共祖先的Tarjan算法》

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更多關於數據結構和算法的介紹，請查看：數據結構與算法彙總

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