269.算法的存儲空間需求

1.概述

1.1定義

　　一個算法的存儲量包括形參所佔空間和臨時變量所佔空間。在對算法進行存儲空間分析時，只考察臨時變量所佔空間。

 

　　算法的空間複雜度定義爲:S(n) = O(g(n))​

　　表示隨着問題規模 n 的增大，算法運行所需存儲量的增加率與 g(n) 的增加率相同。​​​

 

1.2補充

　　例如，有如下算法，其中臨時空間爲變量i、maxi佔用的空間。

因此，空間複雜度是對一個算法在運行過程當中臨時佔用的存儲空間大小的量度，通常也做爲問題規模n的函數，以數量級形式給出，記做：
S(n)=O(g(n))、Ω(g(n))或Θ(g(n))
其中漸進符號的含義與時間複雜度中的含義相同。

int max(int a[]，int n)
{   int i，maxi=0;
    for (i=1;i<=n;i++)
    if (a[i]>a[maxi])
         maxi=i;
    return a[maxi];
}
函數體內分配的變量空間爲臨時空間，不計形參佔用的空間，
這裏的僅計i、maxi變量的空間，其空間複雜度爲O(1)。

 

　　注意：​若輸入數據所佔空間只取決於問題自己，和算法無關，​則只須要分析除輸入和程序以外的輔助變量所佔額外空間。若所需額外空間相對於輸入數據量來講是常數，則稱此算法爲原地工做。若所需存儲量依賴於特定的輸入，則一般按最壞狀況考慮。引用至關於給個變量別名，不佔用空間。

 

• 算法的存儲量包括:
• 1．輸入數據所佔空間
• 2．程序自己所佔空間
• 3．輔助變量所佔空間

 

【例1.9】分析例1.6算法的空間複雜度。　　
void func(int n)
{   int i=1,k=100;
    while (i<=n)
    {      k++;
      i+=2;
    }
}
　　解：該算法是一個非遞歸算法，其中只臨時分配了i、k兩個變量的空間，它與問題規模n無關，因此其空間複雜度均爲O(1)，即該算法爲原時工做算法。

 

【例1.10】有以下遞歸算法，分析調用
    maxelem(a，0，n-1)
    的空間複雜度。
int maxelem(int a[],int i,int j)
{   int mid=(i+j)/2,max1,max2;
    if (i<j)
    {    max1=maxelem(a,i,mid);
  　　　  max2=maxelem(a,mid+1,j);
    return (max1>max2)?max1:max2;
    }
    else return a[i];
}

   解：執行該遞歸算法須要屢次調用自身，每次調用只臨時分配3個整型變量的空間（O(1)）。
   設調用maxelem(a，0，n-1)的空間爲S(n)，有： S(n)=O(1) 當n=1 S(n)=2S(n/2)+O(1) 當n>1 o(1)是int mid=(i+j)/2,max1,max2;常量空間 則： S(n) = 2S(n/2)+1=2[2S(n/22)+1]+1=22S(n/22)+1+21 = 23S(n/23)+1+21+22 = … = 2kS(n/2k)+1+21+22+…+2k-1（設n=2k，即k=log2n） = n*1+2k-1 = 2n-1 = O(n)

 

1.3注意

　　爲何算法佔用的空間只考慮臨時空間，而沒必要考慮形參的空間呢？這是由於形參的空間會在調用該算法的算法中考慮，例如，如下maxfun算法調用max算法：

void maxfun()
{   int b[]={1,2,3,4,5},n=5;
　　printf("Max=%d\n",max(b,n));
}

int max(int a[]，int n)
{   int i，maxi=0;
    for (i=1;i<=n;i++)
    if (a[i]>a[maxi])
         maxi=i;
    return a[maxi];
}

maxfun算法中爲b數組分配了相應的內存空間，其空間複雜度爲O(n)，若是在max算法中再考慮形參a的空間，這樣重複計算了佔用的空間。